Рациональные числа
Смешанные дроби произвольного знака
Ответы к стр. 113
581. Не проводя вычислений, сравните результат с нулём, а затем вычислите:
а) 5 1/2 • (- 1/4); б) -3/7 • 2 1/3;
в) (- 7/9) • -8/5; г) -8/-9 • -3/-7• -7/-8;
д) (- 1/2) : (-7) : (-3); е) (- 4/5)2.
а) При умножении положительного числа на отрицательное произведение получается отрицательным, то есть меньше нуля:
5 1/2 • (- 1/4) = −(11/2 • 1/4) = − 11•1/2•4 = − 11/8 = −1 3/8;
б) При умножении отрицательного числа на положительное произведение получается отрицательным, то есть меньше нуля:
-3/7 • 2 1/3 = −(3/7 • 7/3) = − 3•7/7•3 = − 1•1/1•1 = −1;
в) При умножении отрицательного числа на отрицательное произведение получается положительным, то есть больше нуля:
(- 7/9) • -8/5 = 7/9 • 8/5 = 7•8/9•5 = 56/45 = 1 11/45;
г) При делении отрицательного числа на отрицательное частное получается положительным, следовательно, все три дроби будут положительными числами, а при их перемножении получается положительное число, то есть больше нуля:
-8/-9 • -3/-7 • -7/-8 = 8/9 • 3/7 • 7/8 = 8•3•7/9•7•8 = 1•1•1/3•1•1 = 1/3;
д) При делении отрицательного числа на отрицательное частное получается положительным числом, при дальнейшем делении полученного положительного частного на отрицательное число получится отрицательное число, то есть меньше нуля:
(- 1/2) : (-7) : (-3) = (- 1/2) • (- 1/7) • (- 1/3) = −(1/2 • 1/7 • 1/3) = − 1•1•1/2•7•3 = − 1/42;
е) При возведении в квадрат (умножении самого на себя) любого числа (кроме нуля) получается положительное число, то есть больше нуля:
(- 4/5)2 = (- 4/5) • (- 4/5) = 4/5 • 4/5 = 4•4/5•5 = 16/25.
582. Определите без вычислений, значение какого выражения больше:
а) 4 1/2 • (- 7/5) • (- 3/19) или 5 7/9 : (- 4/17) : 8/13;
б) (- 1/2) • (- 1/3) • (- 1/4) или (- 1/4) : (- 1/2) : 1/3;
в) (-1 1/3) • (-2 2/7) • (-3 3/5) или (- 1/2) • (- 1/10) • (- 1/100).
а) В левой части произведение двух отрицательных чисел даст число положительное, при умножении которого на положительное число получается положительное число. В правой части частное двух положительных чисел даст число положительное, при делении которого на отрицательное число получается отрицательное число. Следовательно:
4 1/2 • (- 7/5) • (- 3/19) > 5 7/9 : (- 4/17) : 8/13;
б) В левой части произведение двух отрицательных чисел даст число положительное, при умножении которого на отрицательное число получается отрицательное число. В правой части частное двух отрицательных чисел даст число положительное, при делении которого на положительное число получается положительное число. Следовательно:
(- 1/2) • (- 1/3) • (- 1/4) < (- 1/4) : (- 1/2) : 1/3;
в) И в левой и в правой частях произведение двух отрицательных чисел даст число положительное, при умножении которого на отрицательное число получается отрицательное число. В левой части содержаться целые числа и модуль произведения этой части будет больше модуля произведения правой части, но числа отрицательные, следовательно:
(-1 1/3) • (-2 2/7) • (-3 3/5) < (- 1/2) • (- 1/10) • (- 1/100).
583. Вычислите степень, предварительно указав основание и показатель степени:
а) (- 1/2)2; б) (- 1/2)3; в) (- 1/3)2; г) (- 1/3)3.
а) основание степени: — 1/2, показатель степени: 2,
(- 1/2)2 = (- 1/2) • (- 1/2) = 1/2 • 1/2 = 1•1/2•2 = 1/4;
б) основание степени: — 1/2, показатель степени: 3,
(- 1/2)3 = (- 1/2) • (- 1/2) • (- 1/2) = -(1/2 • 1/2 • 1/2) = — 1•1•1/2•2•2 = — 1/8;
в) основание степени: — 1/3, показатель степени: 2,
(- 1/3)2 = (- 1/3) • (- 1/3) = 1/3 • 1/3 = 1•1/3•3 = 1/9;
г) основание степени: — 1/3, показатель степени: 3,
(- 1/3)3 = (- 1/3) • (- 1/3) • (- 1/3) = -(1/3 • 1/3 • 1/3) = — 1•1•1/3•3•3 = — 1/27.
584. Сравните с нулём, затем вычислите:
а) (- 3/4)3; б) (- 1/2)5; в) (- 2/3)4; г) (- 4/5)3.
При возведении в нечётную степень отрицательного числа получается число отрицательное, а при возведении в чётную степень — положительное.
а) (- 3/4)3 < 0, (- 3/4)3 = (- 3/4) • (- 3/4) • (- 3/4) = -(3/4 • 3/4 • 3/4) = — 3•3•3/4•4•4 = — 27/64;
б) (- 1/2)5 < 0, (- 1/2)5 = (- 1/2) • (- 1/2) • (- 1/2) • (- 1/2) • (- 1/2) = -(1/2 • 1/2 • 1/2 • 1/2 • 1/2) = — 1•1•1•1•1/2•2•2•2•2 = — 1/32;
в) (- 2/3)4 > 0, (- 2/3)4 = (- 2/3) • (- 2/3) • (- 2/3) • (- 2/3) = 2/3 • 2/3 • 2/3 • 2/3 = 2•2•2•2/3•3•3•3 = 16/81;
г) (- 4/5)3 < 0, (- 4/5)3 = (- 4/5) • (- 4/5) • (- 4/5) = -(4/5 • 4/5 • 4/5) = — 4•4•4/5•5•5 = — 64/125.
Вычислите (585-588):
585. а) 3 2/3 : -11/12; б) 8/15 : 16/-25; в) -7/9 : 2 1/3;
г) -9/-16 : 1 13/32; д) -1 1/3 : 2/3; е) 7/8 : (-1 5/8);
ж) — 4/5 : (-1 1/5); з) — 4/3 : (-1 5/6); и) 4 : (-1 1/3);
к) (-2 2/5) : 10; л) -6 : 3 3/5; м) -2 5/7 : (-38).
а) 3 2/3 : -11/12 = 11/3 • (- 12/11) = -(11/3 • 12/11) = — 11•12/3•11 = — 1•12/3•1 = — 12/3 = — 4;
б) 8/15 : 16/-25 = 8/15 • (- 25/16) = -(8/15 • 25/16) = — 8•25/15•16 = — 1•5/3•2 = — 5/6;
в) -7/9 : 2 1/3 = — 7/9 : 7/3 = -(7/9 • 3/7) = — 7•3/9•7 = — 1•1/3•1 = — 1/3;
г) -9/-16 : 1 13/32 = 9/16 : 45/32 = 9/16 • 32/45 = 9•32/16•45 = 1•2/1•5 = 2/5;
д) -1 1/3 : 2/3 = — 4/3 • 3/2 = -(4/3 • 3/2) = — 4•3/3•2 = — 2•1/1•1 = — 2/1 = -2;
е) 7/8 : (-1 5/8) = 7/8 : (- 13/8) = -(7/8 • 8/13) = — 7•8/8•13 = — 7•1/1•13 = — 7/13;
ж) — 4/5 : (-1 1/5) = — 4/5 : (- 6/5) = 4/5 • 5/6 = 4•5/5•6 = 2•1/1•3 = 2/3;
з) — 4/3 : (-1 5/6) = — 4/3 : (- 11/6) = 4/3 • 6/11 = 4•6/3•11 = 4•2/1•11 = 8/11;
и) 4 : (-1 1/3) = 4 : (- 4/3) = 4 •(- 3/4) = -(4 • 3/4) = — 4•3/4 = — 1•3/1 = — 3/1 = -3;
к) (-2 2/5) : 10 = (- 12/5) • 1/10 = -(12/5 • 1/10) = — 12•1/5•10 = — 6•1/5•5 = — 6/25;
л) -6 : 3 3/5 = -6 : 18/5 = -(6 • 5/18) = — 6•5/18 = — 1•5/3 = — 5/3 = -1 2/3;
м) -2 5/7 : (-38) = — 19/7 : (-38) = 19/7 • 1/38 = 19•1/7•38 = 1•1/7•2 = 1/14.
586. а) 1 1/2 : (-1 1/6); б) -2 1/3 : (-1 5/6); в) -1 1/3 : 2 7/8;
г) -2 1/8 : (-3 1/16); д) 1 13/15 : (-1 2/5); е) (-2 2/21) : (-1 4/7).
а) 1 1/2 : (-1 1/6) = 3/2 : (- 7/6) = 3/2 • (- 6/7) = -(3/2 • 6/7) = — 3•6/2•7 = — 3•3/1•7 = — 9/7 = -1 2/7;
б) -2 1/3 : (-1 5/6) = — 7/3 : (- 11/6) = 7/3 • 6/11 = 7•6/3•11 = 7•2/1•11 = 14/11 = 1 3/11;
в) -1 1/3 : 2 7/8 = — 4/3 : 23/8 = — 4/3 • 8/23 = -(4/3 • 8/23) = — 4•8/3•23 = — 32/69;
г) -2 1/8 : (-3 1/16) = — 17/8 : (- 49/16) = 17/8 • 16/49 = 17•16/8•49 = 17•2/1•49 = 34/79;
д) 1 13/15 : (-1 2/5) = 28/15 : (- 7/5) = 28/15 • (- 5/7) = -(28/15 • 5/7) = — 28•5/15•7 = — 4•1/3•1 = — 4/3 = -1 1/3;
е) (-2 2/21) : (-1 4/7) = (- 44/21) : (- 11/7) = 44/21 • 7/11 = 44•7/21•11 = 4•1/3•1 = 4/3 = 1 1/3.
| ← Предыдущая | Следующая → |
Ответы по математике. 6 класс. Учебник. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В.