Отношения, пропорции, проценты
Задачи на перебор всех возможных вариантов
Ответы к стр. 36
Исследуем
158. Несколько приятелей при встрече обменялись рукопожатиями. Только Вася Угрюмов был не в духе и пожал руку не всем своим приятелям. Всего было 13 рукопожатий. Скольким приятелям Вася пожал руку?
Подсчитаем, сколько рукопожатий могли сделать приятели без Васи Угрюмова:
— предположим, было 3 приятеля: 3 • 2 : 2 = 3 рукопожатия,
— предположим, было 4 приятеля: 4 • 3 : 2 = 6 рукопожатий,
— предположим, было 5 приятелей: 5 • 4 : 2 = 10 рукопожатий,
— предположим, было 6 приятелей: 6 • 5 : 2 = 15 рукопожатий — такого быть не может, поскольку по условию рукопожатий было 13.
Если приятелей без Васи было 5, то они сделали 10 рукопожатий. С Васей они сделали 13 рукопожатий (а должны бы были сделать 15 рукопожатий), следовательно, Вася сделал 13 — 10 = 3 рукопожатия, то есть не пожал руку 15 — 13 = 2 приятелям. А всего было 5 + 1 = 6 приятелей.
159. Несколько приятелей при встрече обменялись рукопожатиями. Только Петя Веселов был так рад встрече, что дважды пожал руку некоторым из приятелей (но не всем). Всего было b рукопожатий. Скольким приятелям Петя пожал руку дважды?
Решите задачу, если:
а) b = 17; б) b = 18; в) b = 19.
а) Подсчитаем, сколько рукопожатий могли сделать все приятели:
— предположим, было 3 приятеля: 3 • 2 : 2 = 3 рукопожатия,
— предположим, было 4 приятеля: 4 • 3 : 2 = 6 рукопожатий,
— предположим, было 5 приятелей: 5 • 4 : 2 = 10 рукопожатий,
— предположим, было 6 приятелей: 6 • 5 : 2 = 15 рукопожатий,
— предположим, было 7 приятелей: 7 • 6 : 2 = 21 рукопожатие — такого быть не может, поскольку по условию рукопожатий было 17.
Если приятелей было 6, то они сделали 15 рукопожатий. Но по условию рукопожатий было 17, следовательно, Вася сделал 17 — 15 = 2 рукопожатия дважды, то есть пожал руку двум приятелям дважды. А всего было 6 приятелей.
б) Подсчитаем, сколько рукопожатий могли сделать все приятели:
— предположим, было 3 приятеля: 3 • 2 : 2 = 3 рукопожатия,
— предположим, было 4 приятеля: 4 • 3 : 2 = 6 рукопожатий,
— предположим, было 5 приятелей: 5 • 4 : 2 = 10 рукопожатий,
— предположим, было 6 приятелей: 6 • 5 : 2 = 15 рукопожатий,
— предположим, было 7 приятелей: 7 • 6 : 2 = 21 рукопожатие — такого быть не может, поскольку по условию рукопожатий было 18.
Если приятелей было 6, то они сделали 15 рукопожатий. Но по условию рукопожатий было 18, следовательно, Вася сделал 18 — 15 = 3 рукопожатия дважды, то есть пожал руку трём приятелям дважды. А всего было 6 приятелей.
в) Подсчитаем, сколько рукопожатий могли сделать все приятели:
— предположим, было 3 приятеля: 3 • 2 : 2 = 3 рукопожатия,
— предположим, было 4 приятеля: 4 • 3 : 2 = 6 рукопожатий,
— предположим, было 5 приятелей: 5 • 4 : 2 = 10 рукопожатий,
— предположим, было 6 приятелей: 6 • 5 : 2 = 15 рукопожатий,
— предположим, было 7 приятелей: 7 • 6 : 2 = 21 рукопожатие — такого быть не может, поскольку по условию рукопожатий было 19.
Если приятелей было 6, то они сделали 15 рукопожатий. Но по условию рукопожатий было 19, следовательно, Вася сделал 19 — 15 = 4 рукопожатия дважды, то есть пожал руку четырём приятелям дважды. А всего было 6 приятелей.
160. Постройте многоугольник, имеющий n сторон, если:
а) n = 4; б) n = 5; в) n = 6; г) n = 7; д) n = 8.
В каждом случае проведите все диагонали многоугольника. Объясните, почему число d всех диагоналей вычисляется по формуле d = n(n−3)/2.
Многоугольник, имеющий n сторон, имеет также n вершин. Из одной вершины можно провести (n — 1) отрезков к другим вершинам. Поскольку два из этих отрезков будут сторонами многоугольника, соединяющими две соседние вершины, и не могут считаться диагоналями, то всего диагоналей будет n • (n — 1 — 2) = n(n — 3). Каждая диагональ соединяет две вершины, поэтому среди диагоналей есть попарно совпадающие (см. задание 156,а на стр. 35), следовательно, полученное количество диагоналей нужно разделить на 2: n(n — 3)/2.
а) d = 4(4-3)/2 = 4/2 = 2;
б) d = 5(5-3)/2 = 10/2 = 5;
в) d = 6(6-3)/2 = 18/2 = 9;
г) d = 7(7-3)/2 = 28/2 = 14;
д) d = 8(8-3)/2 = 40/2 = 20.
161. Ученица нарисовала многоугольник и провела 20 диагоналей. Ей осталось провести меньше половины всех диагоналей этого многоугольника. Сколько диагоналей ей осталось провести?
Количество диагоналей многоугольника находится по формуле: d = n(n — 3)/2. По условию задачи количество диагоналей в многоугольнике больше 20 и не может быть больше 39, так как 20 + 19 = 39.
Допустим что в многоугольнике 8 сторон, тогда количество диагоналей в нем равно: d = 8(8 — 3)/2 = 40/2 = 20 — не подходит, так как количество диагоналей должно быть больше 20.
Допустим что в многоугольнике 9 сторон, тогда количество диагоналей в нем равно: d = 9(9 — 3)/2 = 54/2 = 27 — подходит условию задачи. 27 — 20 = 7 диагоналей осталось провести.
Допустим что в многоугольнике 10 сторон, тогда количество диагоналей в нем равно: d = 10(10 — 3)/2 = 70/2 = 35 — подходит условию задачи. 35 — 20 = 15 диагоналей осталось провести.
Допустим что в многоугольнике 11 сторон, тогда количество диагоналей в нем равно: d = 11(11 — 3)/2 = 88/2 = 44 — не подходит, так как 44 > 39.
О т в е т: ученице осталось провести 15 диагоналей, если она нарисовала многоугольник с 10 сторонами, и 7 диагоналей, если она нарисовала многоугольник с 9 сторонами.
| ← Предыдущая | Следующая → |
Ответы по математике. 6 класс. Учебник. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В.