Целые числа
Занимательные задачи
Ответы к стр. 84
417. Можно ли записать в строчку 9 таких чисел, чтобы сумма любых трёх соседних чисел была положительна, а сумма всех чисел была отрицательна?
Сточку из девяти чисел можно разбить на три тройки, в которых числа идут последовательно. По условию сумма чисел в каждой такой тройке положительна, и сумма всех троек тоже будет положительным числом, следовательно, такую строчку из девяти чисел записать нельзя.
418. Можно ли расставить в клетках таблицы, состоящей из трёх строк и четырёх столбцов, целые числа так, чтобы сумма чисел:
а) в каждой строке была равна -20, а в каждом столбце -15;
б) в каждой строке была равна -20, а в каждом столбце -16;
в) в каждой строке была положительной, а в каждом столбце — отрицательной?
а) Это условие можно выполнить, если сумма чисел во всех строках таблицы будет равна сумме чисел во всех столбцах таблицы. В каждой строке сумма равна -20, во всех строках -20 • 3 = -60. В каждом столбце сумма равна -15, во всех столбцах -15 • 4 = -60. Следовательно, расставить числа можно, например:
| 10 | -11 | -9 | -10 |
| -10 | -13 | 1 | 2 |
| -15 | 9 | -7 | -7 |
б) Это условие можно выполнить, если сумма чисел во всех строках таблицы будет равна сумме чисел во всех столбцах таблицы. В каждой строке сумма равна -20, во всех строках -20 • 3 = -60. В каждом столбце сумма равна -16, во всех столбцах -16 • 4 = -64. Следовательно, расставить числа нельзя.
в) Сумма во всех строках таблицы будет положительной, а сумма во всех столбцах таблицы будет отрицательной, но положительное число не может быть равным отрицательному числу. Следовательно, расставить числа нельзя.
419. В строчку записаны несколько чисел так, что сумма любых трёх соседних чисел положительна. Можно ли утверждать, что сумма всех чисел положительна, если чисел: а) 18; б) 19; в) 20?
Строчку из чисел нужно разбить на тройки, в которых числа идут последовательно. По условию сумма чисел в каждой такой тройке положительна, и сумма всех троек тоже будет положительным числом. Следовательно, ряд чисел, который делится на три без остатка, можно записать, а который не делится – нельзя, поскольку если числа в остатке отрицательные, то сумма этих чисел и суммы троек может быть отрицательной или равна нулю.
а) 18 : 3 = 6 — можно;
б) 19 : 3 = 6 (остаток 1) — нельзя;
в) 20 : 3 = 6 (остаток 2) — нельзя.
420. В непрозрачном мешке лежат 10 белых и 5 чёрных шаров. Какое наименьшее число шаров нужно вынуть из мешка не глядя, чтобы среди них было 2 шара: а) белых; б) чёрных; в) разных цветов; г) одного цвета?
а) первые вынутые шары могут быть чёрными, тогда два следующих шара обязательно будут белыми. Следовательно, нужно вынуть 5 + 2 = 7 шаров;
б) первые вынутые шары могут быть белыми, тогда два следующих шара обязательно будут чёрными. Следовательно, нужно вынуть 10 + 2 = 12 шаров;
в) первые вынутые шары могут быть белыми, тогда следующий шар обязательно будет чёрным. Следовательно, нужно вынуть 10 + 1 = 11 шаров;
г) первые два вынутые шара могут быть разных цветов, тогда следующий шар обязательно повторит цвет одного из первых шаров. Следовательно, нужно вынуть 2 + 1 = 3 шара.
421. В непрозрачном мешке лежат 679 белых и 679 чёрных шаров. Какое наименьшее число шаров нужно вынуть из мешка не глядя, чтобы среди них было 2 шара: а) белых; б) чёрных; в) разных цветов; г) одного цвета?
а) первые вынутые шары могут быть чёрными, тогда два следующих шара обязательно будут белыми. Следовательно, нужно вынуть 679 + 2 = 681 шар;
б) первые вынутые шары могут быть белыми, тогда два следующих шара обязательно будут чёрными. Следовательно, нужно вынуть 679 + 2 = 681 шар;
в) первые вынутые шары могут быть белыми или чёрными, тогда следующий шар обязательно будет другого цвета. Следовательно, нужно вынуть 679 + 1 = 680 шаров;
г) первые два вынутые шара могут быть разных цветов, тогда следующий шар обязательно повторит цвет одного из первых шаров. Следовательно, нужно вынуть 2 + 1 = 3 шара.
422. Имеется 3 комнаты с разными замками и 3 ключа от этих комнат. Какое наименьшее число проб нужно сделать, чтобы определить, какой ключ от какой комнаты?
Пробуем открыть первую дверь. Если первые два ключа не подошли, то третий точно подойдёт. Следовательно, было сделано две пробы. Пробуем открыть вторую дверь. Если первый ключ не подошёл, то второй точно подойдёт. Следовательно, была сделана одна проба. Оставшийся ключ точно откроет третью дверь. Значит, всего было сделано три пробы.
423. Вася возвёл натуральное число в квадрат и получил число, оканчивающееся цифрой 2. Не ошибся ли Вася?
Любое натуральное число может оканчиваться на цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и квадрат этих цифр определяет последнюю цифру в числе.
02 = 0, 12 = 1, 22 = 4, 32 = 9, 42 = 16, 52 = 25, 62 = 36, 72 = 49, 82 = 64, 92 = 81. Следовательно, любое натуральное число, возведённое в квадрат может оканчиваться цифрами 0, 1, 4, 9, 6 (16), 5 (25), 6 (36), 9 (49), 4 (64), 1 (81). Цифры 2 среди них нет, поэтому Вася ошибся.
424. Ведущий телевизионной игры спросил игрока:
— Верите ли Вы, что я не курю уже 20 дней?
— Верю, — ответил игрок.
— А вот и неверно, я не курю уже 24 дня!
Правильно ли ведущий оценил ответ игрока?
Ведущий неверно оценил ответ игрока, так как если он не курит 24 дня, то любое количество дней до 24, указанное игроком будет верно.
425. Встретились три подруги — Белова, Краснова и Чернова. На одной из них было чёрное платье, на другой — красное, на третьей — белое. Девочка в белом платье говорит Черновой: «Нам надо поменяться платьями, а то цвет наших платьев не соответствует фамилиям». Кто в каком платье был?
Девочка в белом платье – Краснова, так как она говорит с Черновой, на которой надето красное платье (в чёрном она быть не могла – он соответствует её фамилии, а белое надето на Красновой). Тогда чёрное платье надето на Беловой.
| ← Предыдущая | Следующая → |
Ответы по математике. 6 класс. Учебник. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В.