Целые числа
Занимательные задачи
Ответы к стр. 85
426. Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в соревновании. На вопрос, какие места они заняли, трое из них ответили:
1) Коля ни первое, ни четвёртое; 2) Боря второе; 3) Вова не был последним.
Какое место занял каждый мальчик?
Боря занял второе место. Коля занял ни первое, ни четвёртое место, тогда ему остаётся третье место, потому что второе занял Боря. Вова не был последним – из оставшихся первого и четвёртого места он занял первое место. Юра занял оставшееся четвёртое место.
427. Имеется три мешка с монетами. В двух из них настоящие монеты, массой 10 г каждая, а в одном фальшивые монеты, массой 9 г каждая. Есть весы, показывающие общую массу положенных на них монет. Как с помощью одного взвешивания определить, в каком мешке фальшивые монеты, если из мешков можно брать любое число монет?
В двух мешках настоящие монеты, в одном фальшивые. Берём одну монету из первого мешка и две монеты из второго мешка, из третьего мешка монеты брать не будем. Взвешиваем три монеты:
— если их вес равен 30 г (10 г + 10 г + 10 г), то фальшивые монеты в третьем мешке (из него монет не брали);
— если их вес равен 29 г (9 г + 10 г + 10 г), то фальшивые монеты в первом мешке (из него взяли одну монету);
— если их вес равен 28 г (10 г + 9 г + 9 г), то фальшивые монеты во втором мешке (из него взяли две монеты).
428. Решите предыдущую задачу для:
а) четырёх мешков; б) пяти мешков; в) десяти мешков.
а) В трёх мешках настоящие монеты, в одном фальшивые. Берём одну монету из первого мешка, две монеты из второго мешка и три монеты из третьего мешка, из четвёртого мешка монеты брать не будем. Взвешиваем шесть монет:
— если их вес равен 60 г (10 г + 2 • 10 г + 3 • 10 г), то фальшивые монеты в четвёртом мешке (из него монет не брали);
— если их вес равен 59 г (9 г + 2 • 10 г + 3 • 10 г), то фальшивые монеты в первом мешке (из него взяли одну монету);
— если их вес равен 58 г (10 г + 2 • 9 г + 3 • 10 г), то фальшивые монеты во втором мешке (из него взяли две монеты);
— если их вес равен 57 г (10 г + 2 • 10 г + 3 • 9 г), то фальшивые монеты в третьем мешке (из него взяли три монеты).
б) В четырёх мешках настоящие монеты, в одном фальшивые. Берём одну монету из первого мешка, две монеты из второго мешка, три монеты из третьего мешка и четыре монеты из четвёртого мешка, из пятого мешка монеты брать не будем. Взвешиваем десять монет:
— если их вес равен 100 г (10 г + 2 • 10 г + 3 • 10 г + 4 • 10 г), то фальшивые монеты в пятом мешке (из него монет не брали);
— если их вес равен 99 г (9 г + 2 • 10 г + 3 • 10 г + 4 • 10 г), то фальшивые монеты в первом мешке (из него взяли одну монету);
— если их вес равен 98 г (10 г + 2 • 9 г + 3 • 10 г + 4 • 10 г), то фальшивые монеты во втором мешке (из него взяли две монеты);
— если их вес равен 97 г (10 г + 2 • 10 г + 3 • 9 г + 4 • 10 г), то фальшивые монеты в третьем мешке (из него взяли три монеты);
— если их вес равен 96 г (10 г + 2 • 10 г + 3 • 10 г + 4 • 9 г), то фальшивые монеты в четвёртом мешке (из него взяли четыре монеты).
в) В десяти мешках настоящие монеты, в одном фальшивые. Берём одну монету из первого мешка, две монеты из второго мешка, три монеты из третьего мешка, четыре монеты из четвёртого мешка, пять монет из пятого мешка, шесть монет из шестого мешка, семь монет из седьмого мешка, восемь монет из восьмого мешка и девять монет из девятого мешка, из десятого мешка монеты брать не будем. Взвешиваем сорок пять монет:
— если их вес равен 450 г (10 г + 2 • 10 г + 3 • 10 г + 4 • 10 г + 5 • 10 г + 6 • 10 г + 7 • 10 г + 8 • 10 г + 9 • 10 г), то фальшивые монеты в десятом мешке (из него монет не брали);
— если их вес равен 449 г (9 г + 2 • 10 г + 3 • 10 г + 4 • 10 г + 5 • 10 г + 6 • 10 г + 7 • 10 г + 8 • 10 г + 9 • 10 г), то фальшивые монеты в первом мешке (из него взяли одну монету);
— если их вес равен 448 г (10 г + 2 • 9 г + 3 • 10 г + 4 • 10 г + 5 • 10 г + 6 • 10 г + 7 • 10 г + 8 • 10 г + 9 • 10 г), то фальшивые монеты во втором мешке (из него взяли две монеты);
— если их вес равен 447 г (10 г + 2 • 10 г + 3 • 9 г + 4 • 10 г + 5 • 10 г + 6 • 10 г + 7 • 10 г + 8 • 10 г + 9 • 10 г), то фальшивые монеты в третьем мешке (из него взяли три монеты);
— если их вес равен 446 г (10 г + 2 • 10 г + 3 • 10 г + 4 • 9 г + 5 • 10 г + 6 • 10 г + 7 • 10 г + 8 • 10 г + 9 • 10 г), то фальшивые монеты в четвёртом мешке (из него взяли четыре монеты);
— если их вес равен 445 г (10 г + 2 • 10 г + 3 • 10 г + 4 • 10 г + 5 • 9 г + 6 • 10 г + 7 • 10 г + 8 • 10 г + 9 • 10 г), то фальшивые монеты в пятом мешке (из него взяли пять монет);
— если их вес равен 444 г (10 г + 2 • 10 г + 3 • 10 г + 4 • 10 г + 5 • 10 г + 6 • 9 г + 7 • 10 г + 8 • 10 г + 9 • 10 г), то фальшивые монеты в шестом мешке (из него взяли шесть монет);
— если их вес равен 443 г (10 г + 2 • 10 г + 3 • 10 г + 4 • 10 г + 5 • 10 г + 6 • 10 г + 7 • 9 г + 8 • 10 г + 9 • 10 г), то фальшивые монеты в седьмом мешке (из него взяли семь монет);
— если их вес равен 442 г (10 г + 2 • 10 г + 3 • 10 г + 4 • 10 г + 5 • 10 г + 6 • 10 г + 7 • 10 г + 8 • 9 г + 9 • 10 г), то фальшивые монеты в восьмом мешке (из него взяли восемь монет);
— если их вес равен 441 г (10 г + 2 • 10 г + 3 • 10 г + 4 • 10 г + 5 • 10 г + 6 • 10 г + 7 • 10 г + 8 • 10 г + 9 • 9 г), то фальшивые монеты в девятом мешке (из него взяли девять монет).
429. В коробке лежат три пилотки — одна синяя и две красные. Учитель вызывает к доске двух учеников, которые становятся лицом к классу и закрывают глаза. Учитель надевает каждому из них на голову пилотку, а оставшуюся прячет в коробку. Ученики открывают глаза, и каждый видит пилотку своего товарища, но не видит своей. Может ли кто-нибудь из них определить цвет своей пилотки? Рассмотрите два случая:
а) надеты одна синяя и одна красная пилотка;
б) надеты две красные пилотки.
а) синяя пилотка одна и если её ученик видит на голове своего товарища, то осталось две красные пилотки и одна из них обязательно надета на него самого, а ученик в синей пилотке видит красную пилотку на товарище и не может определить цвет своей пилотки – для него она или красная, или синяя;
б) оба ученика видят на своём товарище красную пилотку и не могут определить цвет своей пилотки – для каждого из них она или красная, или синяя.
430. Решите предыдущую задачу для пяти пилоток — двух синих и трёх красных и трёх учащихся. Какие случаи следует рассмотреть?
Возможные сочетания пилоток: а) три красные; б) две синие и одна красная; в) две красные и одна синяя.
а) каждый ученик видит на товарищах красные пилотки, но их всего три, значит остались одна красная и две синих пилотки, и никто не может определить цвет своей пилотки;
б) ученик в красной пилотке видит на товарищах синие пилотки, но их всего две, значит остались только красные пилотки, и на нём самом обязательно красная пилотка, а каждый из двух учеников, на которых надеты синие пилотки, видит товарищей в синей и красной пилотках и не может определить цвет своей пилотки: она или синяя, или красная;
в) ученик в синей пилотке видит на товарищах красные пилотки, но их всего три, значит осталась ещё одна красная и две синих пилотки, и он не может определить цвет своей пилотки, а каждый из двух учеников, на которых надеты красные пилотки, видит товарищей в синей и красной пилотках и не может определить цвет своей пилотки: она или синяя, или красная.
431. Приехав в город, Ходжа Насреддин постучал в ворота первого дома и попросил хозяина пустить его переночевать. Денег у Насреддина не было, но была золотая цепочка из семи звеньев. Хозяин согласился приютить путника на семь дней с такими условиями:
1) за один день Насреддин платит одним звеном цепочки;
2) расплачиваться он должен ежедневно;
3) хозяин соглашался принять не более одного распиленного звена.
Смог ли Ходжа Насреддин расплатиться с хозяином?
Чтобы расплатиться с хозяином Ходжа Насреддин должен распилить цепочку по третьему звену, получится одно распиленное звено, два звена, четыре звена.
В первый день Насреддин отдал одно звено цепочки, во второй день отдал два звена и забрал обратно одно звено, в третий день отдал одно звено, в четвёртый день отдал четыре звена и забрал обратно одно звено и два звена, в пятый день отдал одно звено, в шестой день отдал два звена и забрал обратно одно звено, в седьмой день отдал одно звено.
| ← Предыдущая | Следующая → |
Ответы по математике. 6 класс. Учебник. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В.