Действительные числа
Натуральные числа
Простые и составные числа
Ответы к стр. 11
38. Выпишите первые 25 простых чисел в порядке возрастания.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
39. Выпишите все составные числа, не превышающие 50, в порядке возрастания.
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49.
40. Доказываем. Докажите, что 2 − единственное чётное простое число.
2 − единственно чётное простое число, так как имеет только два делителя: число 1 и само число 2. Все остальные чётные числа делятся на 1, сами на себя и на число 2, то есть имеют более двух делителей и являются составными.
41. Запишите числа 48 и 96 в виде разности квадратов двух простых чисел.
48 = 169 — 121 = 132 − 112;
96 = 121 — 25 = 112 – 52.
Исследуем (42-43)
42. Можно ли простое число записать в виде суммы:
а) двух чётных чисел; б) двух нечётных чисел;
в) чётного и нечётного чисел?
а) нельзя, так как сумма двух чётных чисел является чётным числом и делится на 2;
б) можно, единственный случай: 1 + 1 = 2;
в) можно, например: 2 + 3 = 5, 2 + 5 = 7.
43. Леонард Эйлер предложил такую формулу простых чисел: p = n2 – n + 41. Сколько простых чисел дает эта формула при подстановке в неё последовательных натуральных чисел, начиная с 1? Выполните вычисления до получения первого составного числа.
Чтобы сумма делилась на какое−то число, нужно чтобы каждое слагаемое делилось на это число. Так как число 41 простое, значит оно может делиться только на 41, значит n2 и n тоже должны делиться на 41, а это достигается при n = 41, так как 412 ⋮ 41 и 41 ⋮ 41.
Таким образом, эта формула при подстановке в неё последовательных натуральных чисел, начиная с 1, даёт 40 простых чисел (при n = 41 получается составное число, которое делится на 41):
при n = 1 ⇒ p = 12 – 1 + 41 = 1 + 40 = 41 − простое число;
при n = 2 ⇒ p = 22 – 2 + 41 = 4 + 39 = 43 − простое число;
при n = 3 ⇒ p = 32 – 3 + 41 = 9 + 38 = 47 − простое число;
при n = 4 ⇒ p = 42 – 4 + 41 = 16 + 37 = 53 − простое число;
при n = 5 ⇒ p = 52 – 5 + 41 = 25 + 36 = 61 − простое число;
при n = 6 ⇒ p = 62 – 6 + 41 = 36 + 35 = 71 − простое число;
при n = 7 ⇒ p = 72 – 7 + 41 = 49 + 34 = 83 − простое число;
при n = 8 ⇒ p = 82 – 8 + 41 = 64 + 33 = 97 − простое число;
при n = 9 ⇒ p = 92 – 9 + 41 = 81 + 32 = 113 − простое число;
при n = 10 ⇒ p = 102 – 10 + 41 = 100 + 31 = 131 − простое число;
при n = 11 ⇒ p = 112 – 11 + 41 = 121 + 30 = 151 − простое число;
при n = 12 ⇒ p = 122 – 12 + 41 = 144 + 29 = 173 − простое число;
при n = 13 ⇒ p = 132 – 13 + 41 = 169 + 28 = 197 − простое число;
при n = 14 ⇒ p = 142 – 14 + 41 = 196 + 27 = 223 − простое число;
при n = 15 ⇒ p = 152 – 15 + 41 = 225 + 26 = 251 − простое число;
при n = 16 ⇒ p = 162 – 16 + 41 = 256 + 25 = 281 − простое число;
при n = 17 ⇒ p = 172 – 17 + 41 = 289 + 24 = 313 − простое число;
при n = 18 ⇒ p = 182 – 18 + 41 = 324 + 23 = 347 − простое число;
при n = 19 ⇒ p = 192 – 19 + 41 = 361 + 22 = 383 − простое число;
при n = 20 ⇒ p = 202 – 20 + 41 = 400 + 21 = 421 − простое число;
при n = 21 ⇒ p = 212 – 21 + 41 = 441 + 20 = 461 − простое число;
при n = 22 ⇒ p = 222 – 22 + 41 = 484 + 19 = 503 − простое число;
при n = 23 ⇒ p = 232 – 23 + 41 = 529 + 18 = 547 − простое число;
при n = 24 ⇒ p = 242 – 24 + 41 = 576 + 17 = 593 − простое число;
при n = 25 ⇒ p = 252 – 25 + 41 = 625 + 16 = 641 − простое число;
при n = 26 ⇒ p = 262 – 26 + 41 = 676 + 15 = 691 − простое число;
при n = 27 ⇒ p = 272 – 27 + 41 = 729 + 14 = 743 − простое число;
при n = 28 ⇒ p = 282 – 28 + 41 = 784 + 13 = 797 − простое число;
при n = 29 ⇒ p = 292 – 29 + 41 = 841 + 12 = 853 − простое число;
при n = 30 ⇒ p = 302 – 30 + 41 = 900 + 11 = 911 − простое число;
при n = 31 ⇒ p = 312 – 31 + 41 = 961 + 10 = 971 − простое число;
при n = 32 ⇒ p = 322 – 32 + 41 = 1024 + 9 = 1033 − простое число;
при n = 33 ⇒ p = 332 – 33 + 41 = 1089 + 8 = 1097 − простое число;
при n = 34 ⇒ p = 342 – 34 + 41 = 1156 + 7 = 1163 − простое число;
при n = 35 ⇒ p = 352 – 35 + 41 = 1225 + 6 = 1231 − простое число;
при n = 36 ⇒ p = 362 – 36 + 41 = 1296 + 5 = 1301 − простое число;
при n = 37 ⇒ p = 372 – 37 + 41 = 1369 + 4 = 1373 − простое число;
при n = 38 ⇒ p = 382 – 38 + 41 = 1444 + 3 = 1447 − простое число;
при n = 39 ⇒ p = 392 – 39 + 41 = 1521 + 2 = 1523 − простое число;
при n = 40 ⇒ p = 402 – 40 + 41 = 1600 + 1 = 1601 − простое число;
при n = 41 ⇒ p = 412 – 41 + 41 = 1681 + 0 = 1681 − составное число, делится на 41.
Доказываем (44-45)
44. Докажите, что найдется такое натуральное число n, для которого n2 – n + 41 является составным числом.
n2 – n + 41 = n2 + (−n) + 41
Чтобы сумма делилась на какое−то число, нужно чтобы каждое слагаемое делилось на это число. Так как число 41 простое, значит оно может делиться только на 41, значит n2 и (−n) − должны делиться на 41, а это достигается при n = 41, так как 412 = 412 ⋮ 41 и 41 ⋮ 41.
Значит, при n = 41 выражение n2 − n + 41 (412 – 41 + 41 = 41 • 41 = 1681) делится на 1, 41, 1681, то есть имеет более двух натуральных делителей и является составным числом.
45. а) Докажите, что одно из трёх соседних нечётных чисел делится на 3.
б) Известно, что p, p + 2, p + 4 − простые числа. Найдите p. Докажите, что других p не существует.
а) Пусть х — одно из нечётных чисел, тогда следующие за ним нечётные числа х + 2 и х + 4. При делении числа на 3 в остатке может получится 0 или 1 или 2.
Если при делении числа х на 3 остаток получился 0, то это деление нацело.
Если при делении числа х на 3 остаток получился 1, то можно представить результат деления, как сумму целой части n (получившейся при делении) и единицы: n + 1, а число х представить в виде: 3n + 1 (поскольку целая часть n кратна делителю 3). Тогда можно заменить х в числах х + 2 и х + 4 на 3n + 1:
х + 2 = 3n + 1 + 2 = 3n + 3 = 3 • (n + 1) — это число делится на 3, так как один из его множителей делится на 3;
х + 4 = 3n + 1 + 4 = 3n + 5 — это число не делится на 3.
Если при делении числа х на 3 остаток получился 2, то можно представить результат деления, как сумму целой части n (получившейся при делении) и двух: n + 2, а число х представить в виде: 3n + 2 (поскольку целая часть n кратна делителю 3). Тогда можно заменить х в числах х + 2 и х + 4 на 3n + 2:
х + 2 = 3n + 2 + 2 = 3n + 4 — это число не делится на 3;
х + 4 = 3n + 2 + 4 = 3n + 6 = 3 • (n + 2) — это число делится на 3, так как один из его множителей делится на 3 .
Получается, что из трёх последовательных нечётных чисел на 3 может делиться первое число, а если оно не делится (с остатком 1), то может делиться второе число или третье число (если первое число не делится на 3 с остатком 2).
б) Чётных простых чисел, кроме числа 2, не существует. Поскольку при сложении чётных чисел получается чётное число, то р — нечётное простое число, а представленная в условии задачи последовательность — последовательность трёх соседних нечётных чисел.
Из пункта а) известно, что из трёх последовательных нечётных чисел одно обязательно делится на 3, следовательно, р = 3 (р + 2 = 3 + 2 = 5, а р + 4 = 3 + 4 = 7, что соответствует условию задачи).
Пусть p > 3. Тогда числа p, p + 2 и p + 4 дают при делении на 3 различные остатки, среди которых есть 0. Следовательно, среди чисел p, p + 2 и p + 4 найдётся число, делящееся на 3 без остатка. И оно больше трёх, а значит, делится на 1, на 3 и на само себя — это составное число, что противоречит условию задачи.
| ← Предыдущая | Следующая → |