Алгебраические выражения
Формулы сокращённого умножения
Куб разности
Ответы к стр. 115
426. Запишите выражение в виде степени двучлена:
а) α2 — 2αb + b2; б) α2 + 4α + 4;
в) α2 + 6α + 9; г) α2 — 10α + 25;
д) α3 + Зα2 + Зα + 1; е) α3 — Зα2 + Зα — 1;
ж) α3 + 6α2 + 12α + 8; з) α3 — 6α2 + 12α — 8.
а) α2 — 2αb + b2 = (α − b)2;
б) α2 + 4α + 4 = α2 + 2•2•α + 22 = (α + 2)2;
в) α2 + 6α + 9 = α2 + 2•3•α + 33 = (α + 3)2;
г) α2 — 10α + 25 = α2 – 2•5•α + 52 = (α − 5)2;
д) α3 + Зα2 + Зα + 1 = (α + 1)3;
е) α3 — Зα2 + Зα – 1 = (α − 1)3;
ж) α3 + 6α2 + 12α + 8 = α3 + 3•2•α2 + 3•22•α + 23 = (α + 2)3;
з) α3 — 6α2 + 12α – 8 = α3 — 3•2•α2 + 3•22•α — 23 = (α − 2)3.
427. Выясните, является ли многочлен кубом какого-либо двучлена:
а) 1 — Зх + Зх2 — х3;
б) α3 — 6α2 + 12α — 8;
в) 8α3 — 36α2b + 54αb2 — 27b3.
а) 1 — Зх + Зх2 — х3 = 13 – З•12•х + З•х2•1 — х3 = (1 − x)3 – является;
б) α3 — 6α2 + 12α – 8 = α3 − 3•α2•2 + 3•α•22 – 23 = (α − 2)3 – является;
в) 8α3 — 36α2b + 54αb2 — 27b3 = (2α)3 − 3•(2α)2•3b + 3•2α•(3b)2 − (3b)3 = (2α − 3b)3 – является.
428. Упростите выражение двумя способами:
а) (х — 1)3 — (х + 1)3; б) (х + 2)3 + (х — 2)3.
а) 1 способ:
(х — 1)3 — (х + 1)3 = x3 − 3x2•1 + 3x•12 + 13 − (x3 + 3x2•1 + 3x•12 + 13) = x3 − 3x2 + 3x – 1 − x3 − 3x2 − 3x – 1 = −6x2 − 2,
2 способ:
(х — 1)3 — (х + 1)3 = (x – 1 − (x + 1))((x − 1)2 + (x − 1)(x + 1) + (x + 1)2) = (x – 1 – x − 1)(x2 − 2x + 1 + x2 – 1 + x2 + 2x + 1) = −2(3x2 + 1) = −6x2 − 2;
б) 1 способ:
(х + 2)3 + (х — 2)3 = x3 + 3x2•2 + 3x•22 + 23 + (x3 − 3x2•2 + 3x•22 − 23) = x3 + 6x2 + 12x + 8 + x3 − 6x2 + 12x – 8 = 2x3 + 24x,
2 способ:
(х + 2)3 + (х — 2)3 = (x + 2 + x − 2)((x + 2)2 − (x + 2)(x − 2) + (x − 2)2) = 2x(x2 + 4x + 4 − x2 + 4 + x2 − 4x + 4) = 2x(x2 + 12) = 2x3 + 24x.
429. Как получить формулу куба разности из формулы куба суммы?
(x + y)3 = (x − (−y))3 = x3 − 3x2•(−y) + 3x•(−y)2 − (−y)3 = x3 – (-3x2у) + 3xy2 – (-y3).
Примечание: 3x•(−y)2 = 3xy2, так как любое число во второй степени больше либо равно нулю.
| ← Предыдущая | Следующая → |