Алгебраические выражения
Формулы сокращённого умножения
Применение формул сокращённого умножения
Ответы к стр. 116
430. Запишите известные вам формулы сокращенного умножения.
(α + b)2 = α2 + 2αb + b2 − квадрат суммы;
(α − b)2 = α2 − 2αb + b2 − квадрат разности;
α2 − b2 = (α − b)(α + b) − разность квадратов;
α3 + b3 = (α + b)(α2 − αb + b2) − сумма кубов;
α3 − b3 = (α − b)(α2 + αb + b2) − разность кубов;
(α + b)3 = α3 + 3α2b + 3αb2 + b3 − куб суммы;
(α − b)3 = α3 − 3α2b + 3αb2 − b3 − куб разности.
431. Перепишите формулы сокращенного умножения, используя буквы: а) x и y; б) m и n.
а) (х + у)2 = х2 + 2ху + у2 − квадрат суммы;
(х − у)2 = х2 – 2ху + у2 − квадрат разности;
х2 − у2 = (х − у)(х + у) − разность квадратов;
х3 + у3 = (х + у)(х2 − ху + у2) − сумма кубов;
х3 − у3 = (х − у)(х2 + ху + у2) − разность кубов;
(х + у)3 = х3 + 3х2у + 3ху2 + у3 − куб суммы;
(х − у)3 = х3 – 3х2у + 3ху2 − у3 − куб разности.
б) (m + n)2 = m2 + 2mn + n2 − квадрат суммы;
(m − n)2 = m2 – 2mn + n2 − квадрат разности;
m2 − n2 = (m − n)(m + n) − разность квадратов;
m3 + n3 = (m + n)(m2 − mn + n2) − сумма кубов;
m3 − n3 = (m − n)(m2 + mn + n2) − разность кубов;
(m + n)3 = m3 + 3m2n + 3mn2 + n3 − куб суммы;
(m − n)3 = m3 – 3m2n + 3mn2 − n3 − куб разности.
432. Для чего применяются формулы сокращённого умножения?
Формулы сокращённого умножения применяются для упрощения выражений, для разложения многочлена на множители.
433. Упростите выражение:
а) (α + 1)2 — 2(α + 1) + 1;
б) (m — n)2 + 2n(m — n) + n2;
в) (р — q)2 — 2(р2 — q2) + (р + q)2;
г) (х + 2у)2 + 2(х2 — 4у2) + (2у — х)2.
а) (α + 1)2 — 2(α + 1) + 1 = (α + 1)2 — 2(α + 1) + 12 = (α + 1 − 1)2 = α2;
б) (m — n)2 + 2n(m — n) + n2 = (m – n + n)2 = m2;
в) (р — q)2 — 2(р2 — q2) + (р + q)2 = (p – q − (p + q))2 = (p – q – p − q)2 = (−2q)2 = 4q2;
г) (х + 2у)2 + 2(х2 — 4у2) + (2у — х)2 = (x + y)2 + 2(x − 2y)(x + 2y) + (x − 2y)2 = (x + 2y + x − 2y)2 = (2x)2 = 4x2.
Преобразуйте выражение в многочлен (434-439):
434. а) (х + у + z)(х + у — z); б) (х — у + z)(х — у — z);
в) (х — у + z)(х + у + z); г) (х — у — z)(x + у — z);
д) (х – у — z)(х + у + z); е) (-х — у — z)(x — у — z).
а) (х + у + z)(х + у — z) = ((х + у) + z)((х + у) — z) = (x + y)2 − z2 = x2 + 2xy + y2 − z2;
б) (х — у + z)(х — у — z) = ((х – у) + z)((х – у) — z) = (x − y)2 − z2 = x2 − 2xy + y2 − z2;
в) (х — у + z)(х + у + z) = (x + z − y)(x + z + y) = (x + z)2 − y2 = x2 + 2xz + z2 − y2;
г) (х — у — z)(x + у — z) = (x – z − y)(x – z + y) = (x − z)2 − y2 = x2 − 2xz + z2 − y2;
д) (х – у — z)(х + у + z) = (x − (y + z))(x + (y + z)) = x2 − (y + z)2 = x2 − (y2 + 2yz + z2) = x2 − y2 − 2yz − z2;
е) (-х — у — z)(x — у — z) = −(x + y + z)(x – y − z) = −(x + (y + z))(x − (y + z)) = −(x2 − (y + z)2) = −x2 + (y + z)2 = −x2 + y2 + 2yz + z2.
435. а) (α + b + с + d)(α + b — с — d);
б) (α — b + с + d)(α — b — с — d);
в) (α + b — с + d)(α + b + с — d);
г) (α — b — с + d)(α — b + с — d).
а) (α + b + с + d)(α + b — с — d) = ((α + b) + (c + d))((α + b) − (c + d)) = (α + b)2 − (c + d)2 = α2 + 2αb + b2 − c2 − 2cd − d2;
б) (α — b + с + d)(α — b — с — d) = ((α − b) + (c + d))((α − b) − (c + d)) = (α − b)2 − (c + d)2 = α2 − 2αb + b2 − c2 − 2cd − d2;
в) (α + b — с + d)(α + b + с — d) = ((α + b) − (c − d))((α + b) + (c − d)) = (α + b)2 − (c − d)2 = α2 + 2αb + b2 − c2 + 2cd − d2;
г) (α — b — с + d)(α — b + с — d) = ((α − b) − (c − d))((α − b) + (c − d)) = (α − b)2 − (c − d)2 = α2 − 2αb + b2 − c2 + 2cd − d2.
436. a) (1 + x)(1 — x)(1 + х2); б) (α — 1)(1 + α)(α2 + 1);
в) (m + n)(n — m)(m2 + n2); г) (3 — р)(р2 + 9)(р + 3);
д) (х + 2)(4 — х2)(х — 2); е) (р + q)2(p — q)2;
ж) (α — b)(α — b)(α + b)(α + b); з) (5 + m)(m — 5)(m — 5)(m + 5).
а) (1 + x)(1 — x)(1 + х2) = (1 − x2)(1 + x2) = 1 − (x2)2 = 1 − x4;
б) (α — 1)(1 + α)(α2 + 1) = (α − 1)(α + 1)(α2 + 1) = (α2 − 1)(α2 + 1) = (α2)2 – 1 = α4 − 1;
в) (m + n)(n — m)(m2 + n2) = (n − m)(n + m)(n2 + m2) = (n2 − m2)(n2 + m2) = (n2)2 − (m2)2 = n4 − m4;
г) (3 — р)(р2 + 9)(р + 3) = (3 − p)(3 + p)(9 + p2) = (9 − p2)(9 + p2) = 81 − p4;
д) (х + 2)(4 — х2)(х — 2) = −(x + 2)(x − 2)(x2 − 4) = −(x2 − 4)(x2 − 4) = −(x2 − 4)2 = −(x4 − 8x2 + 16) = −x4 + 8x2 − 16;
е) (р + q)2(p — q)2 = ((p + q)(p − q))2 = (p2 − q2)2 = p4 − 2p2q2 + q4;
ж) (α — b)(α — b)(α + b)(α + b) = (α − b)(α + b)(α − b)(α + b) = (α2 − b2)(α2 − b2) = (α2 − b2)2 = α4 − 2α2b2 + b4;
з) (5 + m)(m — 5)(m — 5)(m + 5) = (m + 5)(m − 5)(m − 5)(m + 5) = (m2 − 25)(m2 − 25) = (m2 − 25)2 = m4 − 50m2 + 625.
437. а) (α + 1)(α + 2)(α2 + 4)(α2 + 1)(α — 2)(α — 1);
б) (α + b + с)(α + b — с) — 2αb;
в) (α — b)(α + b)(b2 + α2)(α4 + b4);
г) (α + b)3 — 3αb(α + b);
д) 3αb(α — b) + (α — b)3;
е) (α2 — 2)(α2 + 2) — (2 — α2)2.
а) (α + 1)(α + 2)(α2 + 4)(α2 + 1)(α — 2)(α — 1) = (α + 1)(α − 1)(α + 2)(α − 2)(α2 + 4)(α2 + 1) = (α2 − 1)(α2 − 4)(α2 + 4)(α2 + 1) = (α2 − 1)(α2 + 1)(α2 − 4)(α2 + 4) = (α4 − 1)(α4 − 16) = α8 − α4 − 16α4 + 16 = α8 − 17α4 + 16;
б) (α + b + с)(α + b — с) — 2αb = (α + b)2 − c2 − 2αb = α2 + 2αb + b2 − c2 − 2αb = α2 + b2 − c2;
в) (α — b)(α + b)(b2 + α2)(α4 + b4) = (α2 − b2)(α2 + b2)(α4 + b4) = (α4 − b4)(α4 + b4) = α8 − b8;
г) (α + b)3 — 3αb(α + b) = α3 + 3α2b + 3αb2 + b3 − 3α2b − 3αb2 = α3 + b3;
д) 3αb(α — b) + (α — b)3 = 3α2b − 3αb2 + α3 − 3α2b + 3αb2 − b3 = α3 − b3;
е) (α2 — 2)(α2 + 2) — (2 — α2)2 = (α4 − 4) − (4 − 4α2 + α4) = α4 – 4 – 4 + 4α2 − α4 = 4α2 – 8.
438. а) (5 — α)(3 — α) — (α — 4)2; б) (х + З)2 + 3(х — 2)2;
в) 3(2 — m)2 + 2(2 — m)2; г) 5(2р — З)2 + 2(5 — 2р)2;
д) 4(3 — 5α)2 — 5(α — 3)(2α — 3);
е) (α + 1)2 + 2(α + 1) — 3(α — 1)(α + 1);
ж) 3 — 2(5 — x)(x — 5) — 2(5 + х)2;
з) (х — у — z)(х — у — z) — (х — у)2;
и) (х + у + z)(x – y — z) — (x + y — z)(x — у + z);
к) (х + у — z)(x — y + z) — (x + y + z)(x — у — z).
а) (5 — α)(3 — α) — (α — 4)2 = 15 − 5α − 3α + α2 − (α2 − 8α + 16) = 15 − 8α + α2 − α2 + 8α – 16 = −1;
б) (х + З)2 + 3(х — 2)2 = x2 + 6x + 9 + 3(x2 − 4x + 4) = x2 + 6x + 9 + 3x2 − 12x + 12 = 4x2 − 6x + 21;
в) 3(2 — m)2 + 2(2 — m)2 = 3(4 − 4m + m2) + 2(4 − 4m + m2) = 12 − 12m + 3m2 + 8 − 8m + 2m2 = 5m2 − 20m + 20;
г) 5(2р — З)2 + 2(5 — 2р)2 = 5(4p2 − 12p + 9) + 2(25 − 20p + 4p2) = 20p2 − 60p + 45 + 50 − 40p + 8p2 = 28p2 − 100p + 95;
д) 4(3 — 5α)2 — 5(α — 3)(2α — 3) = 4(9 − 30α + 25α2) − 5(2α2 − 6α − 3α + 9) = 36 − 120α + 100α2 − 5(2α2 − 9α + 9) = 36 − 120α + 100α2 − 10α2 + 45α – 45 = 90α2 − 75α − 9;
е) (α + 1)2 + 2(α + 1) — 3(α — 1)(α + 1) = α2 + 2α + 1 + 2α + 2 − 3(α2 − 1) = α2 + 4α + 3 − 3α2 + 3 = −2α2 + 4α + 6;
ж) 3 — 2(5 — x)(x — 5) — 2(5 + х)2 = 3 + 2(x − 5)(x − 5) − 2(25 + 10x + x2) = 3 + 2(x − 5)2 – 50 − 20x − 2x2 = 3 + 2(x2 − 10x + 25) – 50 − 20x − 2x2 = 3 + 2x2 − 20x + 50 – 50 − 20x − 2x2 = 3 − 40x;
з) (х — у — z)(х — у — z) — (х — у)2 = (x – y − z)2 − (x2 − 2xy + y2) = ((x – y) − z)2 − (x2 − 2xy + y2) = (x − y)2 − 2(x − y)z + z2 − x2 + 2xy − y2 = x2 − 2xy + y2 − 2xz + 2yz + z2 − x2 + 2xy – y2 = z2 − 2xz + 2yz;
и) (х + у + z)(x – y — z) — (x + y — z)(x — у + z) = (x + (y + z))(x − (y + z)) − (x + (y − z))(x − (y − z)) = x2 − (y + z)2 − (x2 − (y − z)2) = x2 − (y + z)2 − x2 + (y − z)2 = x2 − (y2 + 2yz + z2) − x2 + y2 − 2yz + z2 = −y2 − 2yz − z2 + y2 − 2yz + z2 = −4yz;
к) (х + у — z)(x — y + z) — (x + y + z)(x — у — z) = (x + (y − z))(x − (y − z)) − (x + (y + z))(x − (y + z)) = x2 − (y − z)2 − (x2 − (y + z)2) = x2 − (y2 − 2yz + z2) − (x2 − (y2 + 2yz + z2)) = x2 − y2 + 2yz − z2 − (x2 − y2 − 2yz − z2) = x2 − y2 + 2yz − z2 − x2 + y2 + 2yz + z2 = 4yz.
| ← Предыдущая | Следующая → |