Алгебраические выражения
Формулы сокращённого умножения
Применение формул сокращённого умножения
Ответы к стр. 117
Преобразуйте выражение в многочлен (434-439):
439. а) 4(1 — α)2 + 3(α + 1)2; б) 3(m — 2)2 + 5(m + 1);
в) (α — b)2 — (α + b)2; г) (α + b)2 — (α — b)2;
д) 2(х — 1)2 — 3(х + 1)2; е) 4(α — 2b)2 — 9(2α — b)2;
ж) 3(2 — Зm)2 — 3(2 — 3m)(3m + 2);
з) 2(1 — 5x)2 — 2(5x + 1)(1 — 5x).
а) 4(1 — α)2 + 3(α + 1)2 = 4(1 − 2α + α2) + 3(α2 + 2α + 1) = 4 − 8α + 4α2 + 3α2 + 6α + 3 = 7α2 − 2α +7;
б) 3(m — 2)2 + 5(m + 1) = 3(m2 − 4m + 4) + 5m + 5 = 3m2 − 12m + 12 + 5m + 5 = 3m2 − 7m + 17;
в) (α — b)2 — (α + b)2 = α2 − 2αb + b2 − (α2 + 2αb + b2) = α2 − 2αb + b2 − α2 − 2αb − b2 = −4αb;
г) (α + b)2 — (α — b)2 = α2 + 2αb + b2 − (α2 − 2αb + b2) = α2 + 2αb + b2 − α2 + 2αb − b2 = 4αb;
д) 2(х — 1)2 — 3(х + 1)2 = 2(x2 − 2x + 1) − 3(x2 + 2x + 1) = 2x2 − 4x + 2 − 3x2 − 6x – 3 = −x2 − 10x − 1;
е) 4(α — 2b)2 — 9(2α — b)2 = 4(α2 − 4αb + 4b2) − 9(4α2 − 4αb + b2) = 4α2 − 16αb + 16b2 − 36α2 + 36αb − 9b2 = −32α2 + 20αb + 7b2;
ж) 3(2 — Зm)2 — 3(2 — 3m)(3m + 2) = 3(4 − 12m + 9m2) − 3(4 − 9m2) = 12 − 36m + 27m2 – 12 + 27m2 = 54m2 − 36m;
з) 2(1 — 5x)2 — 2(5x + 1)(1 — 5x) = 2(1 − 10x + 25x2) − 2(1 − 25x2) = 2 − 20x + 50x2 – 2 + 50x2 = 100x2 − 20x.
Доказываем. Докажите тождество (440—442):
440. а) α3 + b3 + Зαb(α + b) = (α + b)3;
б) α3 — 3αb(α — b) — b3 = (α — b)3.
а) α3 + b3 + Зαb(α + b) = α3 + b3 + 3α2b + 3αb2 = α3 + 3α2b + 3αb2 + b3 = (α + b)3 – левая часть равна правой части;
б) α3 — 3αb(α — b) — b3 = α3 − 3α2b + 3αb2 − b3 = (α − b)3 — левая часть равна правой части.
441. а) (1 + x6)(1 − x3)(x3 + 1) = 1 − x12;
б) (m − n)(m2 + n2)(n + m) = m4 − n4.
а) (1 + x6)(1 − x3)(x3 + 1) = (1 + x6)(1 − x3)(1 + x3) = (1 + x6)(1 − x6) = 1 − x12 — левая часть равна правой части;
б) (m − n)(m2 + n2)(n + m) = (m − n)(m + n)(m2 + n2) = (m2 − n2)(m2 + n2) = m4 − n4 — левая часть равна правой части.
442. а) (m2 + 1)(n2 + 1) = (mn — 1)2 + (n + m)2;
б) (α2 + b2)(с2 + d2) = (αс — bd)2 + (bc + αd)2.
а) (m2 + 1)(n2 + 1) = m2n2 + n2 + m2 + 1,
(mn — 1)2 + (n + m)2 = m2n2 − 2mn + 1 + n2 + 2mn + m2 = m2n2 + n2 + m2 + 1 – левая и правая части равны;
б) (α2 + b2)(с2 + d2) = α2c2 + b2c2 + α2d2 + b2d2,
(αс — bd)2 + (bc + αd)2 = α2c2 − 2αbcd + b2d2 + b2c2 + 2αbcd + α2d2 = α2c2 + b2c2 + α2d2 + b2d2 – левая и правая части равны.
443. Запишите выражение в виде степени двучлена:
а) (α + b)2 — 4αb; б) (α — b)2 + 4αb;
в) (x + 2у)2 — 8ху; г) (x — 3у)2 + 12ху.
а) (α + b)2 — 4αb = α2 + 2αb + b2 − 4αb = α2 − 2αb + b2 = (α − b)2;
б) (α — b)2 + 4αb = α2 − 2αb + b2 + 4αb = α2 + 2αb + b2 = (α + b)2;
в) (x + 2у)2 — 8ху = x2 + 4xy + 4y2 − 8xy = x2 − 4xy + 4y2 = (x − 2y)2;
г) (x — 3у)2 + 12ху = x2 − 6xy + 9y2 + 12xy = x2 + 6xy + 9y2 = (x + 3y)2.
Доказываем (444-445):
444. Докажите, что:
а) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел является нечётным числом;
б) разность квадратов двух последовательных чётных чисел делится на 4;
в) разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится на 8.
а) Пусть x − первое число и x + 1 − второе число, тогда:
(x + 1)2 − x2 = ((x + 1) − x)((x + 1) + x) = 2x + 1 − нечётное число.
б) Пусть 2x − первое чётное число и 2x + 2 − второе число, тогда:
(2x + 2)2 − (2x)2 = (2x + 2 − 2x)(2x + 2 + 2x) = 2(4x + 2) = 8x + 4 = 4(2x + 1) − делится на 4.
в) Пусть 2x + 1 − первое нечётное число и 2x + 3 − второе число, тогда:
(2x + 3)2 − (2x + 1)2 = (2x + 3 − 2x − 1)(2x + 3 + 2x + 1) = 2(4x + 4) = 8x + 8 = 8(x + 1) − делится на 8.
445. Докажите, что:
а) если к произведению двух целых последовательных чисел прибавить большее из них, то получится квадрат большего числа;
б) сумма квадрата разности двух чисел и их учетверённого произведения равна квадрату сумм этих чисел;
в) разность квадрата суммы двух чисел и их учетверённого произведения равна квадрату разности этих чисел.
а) Пусть x − первое целое число и x + 1 − второе целое число, тогда:
По условию:
x(x + 1) + (x + 1) = x2 + x + x + 1 = x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 − квадрат большего числа.
б) Пусть x − одно число и y − другое число, тогда:
(x − y)2 + 4xy = x2 − 2xy + y2 + 4xy = x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 − квадрат суммы данных чисел.
в) Пусть x − одно число и y − другое число, тогда:
(x + y)2 − 4xy = x2 + 2xy + y2 − 4xy = x2 − 2xy + y2 = (x − y)2 − квадрат разности данных чисел.
446. Вычислите:
а) (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1);
б) (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) + 1 / 264;
в) (3 + 2)(З2 + 22)(34 + 24)(38 + 28)(316 + 216)(332 + 232) + 264 / 364.
а) (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) = (2 – 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) / (2 – 1) = ((2 – 1)(2 + 1))(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) / 1 = (22 – 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) = (24 — 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) = (28 — 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) = (216 — 1)(216 + 1)(232 + 1) = (232 — 1)(232 + 1) = 264 – 1;
б) (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) + 1 / 264 = (2 – 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) + 1 / 264•(2 – 1) = (22 – 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) + 1 / 264•1 = (24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) + 1 / 264 = (28 – 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) + 1 / 264 = (216 – 1)(216 + 1)(232 + 1) + 1 / 264 = (232 – 1)(232 + 1) + 1 / 264 = (264 – 1) + 1 / 264 = 264 / 264 = 1;
в) (3 + 2)(З2 + 22)(34 + 24)(38 + 28)(316 + 216)(332 + 232) + 264 / 364 = (3 – 2)(3 + 2)(З2 + 22)(34 + 24)(38 + 28)(316 + 216)(332 + 232) + 264 / 364•(3 – 2) = (32 – 22)(З2 + 22)(34 + 24)(38 + 28)(316 + 216)(332 + 232) + 264 / 364•1 = (34 – 24)(34 + 24)(38 + 28)(316 + 216)(332 + 232) + 264 / 364 = (38 – 28)(38 + 28)(316 + 216)(332 + 232) + 264 / 364 = (316 – 216)(316 + 216)(332 + 232) + 264 / 364 = (332 – 232)(332 + 232) + 264 / 364 = (364 – 264) + 264 / 364 = 364 / 364 = 1.
447. Доказываем. Задача Ибн Сины. Если число, будучи разделено на 9, даёт остаток 1 или 8, то квадрат этого числа, делённый на 9, даёт остаток 1. Докажите.
Пусть x − число, тогда х : 9 = n (ост. 1) и х : 9 = n (ост. 8) или x = 9n + 1 и x = 9n + 8
Квадраты данных чисел:
x2 = (9n + 1)2 = 81n2 + 18n + 1 = 9(9n2 + 2n) + 1 − при делении на 9 дает остаток 1;
x2 = (9n + 8)2 = 81n2 + 144n + 64 = 81n2 + 144n + 63 + 1 = 9(9n2 + 16n + 7) + 1 − при делении на 9 дает остаток 1.
| ← Предыдущая | Следующая → |