Делимость натуральных чисел
Простые и составные числа
Ответы к стр. 143
Доказываем
640. Докажите, что, кроме числа 2, не существует других чётных простых чисел.
Чётное число — это число, которое делится на 2. Число 2 делится на 1 и на само себя, а любое другое чётное число будет делится на 1, на само себя, а также на 2. Поэтому любое чётное число, кроме 2 — составное.
Исследуем
641. Можно ли простое число записать в виде суммы:
а) двух чётных чисел;
б) двух нечётных чисел;
в) чётного и нечётного чисел?
а) Простое число нельзя записать в виде суммы двух чётных чисел, так как эта сумма чётная и больше 2 и поэтому не равная простому числу.
б) Только одно простое число можно записать в виде суммы двух нечётных чисел: 2 = 1 + 1. Сумма любых других нечётных чисел чётная и больше 2 и поэтому не равна простому числу.
в) Любое простое число, большее 2, — это нечётное число, его можно представить в виде суммы чётного и нечётного чисел. Например, 5 = 4 + 1; 37 = 34 + 3, а простое число 2 нельзя записать в виде суммы чётного и нечётного чисел.
642. а) Может ли сумма двух простых чисел быть простым числом?
б) Верно ли, что сумма любых двух простых чисел является простым числом?
а) Да, может. Например: 2 + 3 = 5 — все числа простые.
б) Нет, не верно. Например: 3 + 5 = 8 — число 8 составное.
643. Некто пообещал дать 99 конфет тому, кто сумеет их разделить между четырьмя людьми так, чтобы каждому досталось нечетное число конфет. Почему этот приз до сих пор никому не удалось получить?
Количество людей — чётное число, а сумма чётного числа нечётных слагаемых — чётное число. Поэтому разделить конфеты заданным способом невозможно, и приз до сих пор никому не удалось получить.
644. В следующих записях замените буквы цифрами так, чтобы полученные числа делились на 3:
а) 35α25; б) 4αb40;
в) 5α2b5; г) 72αb8.
Какие из полученных чисел делятся на 5; делятся на 2; делятся на 10; делятся на 4?
Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3 (в этом задании в каждом пункте нужно выбрать только одно число).
а) 3 + 5 + 2 + 5 = 15 — делится на 3. Значит нужно добавить цифру, которая делится на 3, это 3 или 6 или 9: 35325 или 35625 или 35925.
б) 4 + 4 + 0 = 8, нужно добавить две цифры. Самое большое число — 9, если добавить две 9, то получим сумму 8 + 9 + 9 = 26, которая не делится на 3. В промежутке от 8 до 26 следующие числа делятся на 3: 9, 12, 15, 18, 21, 24.
9 — 8 = 1, значит, числа могут быть 0 и 1: 40 140 или 41 040;
12 — 8 = 4, значит, числа могут быть 0 и 4 или 1 и 3 или 2 и 2: 40 440 или 44 040 или 41 340 или 43 140 или 42 240;
15 — 8 = 7, значит, числа могут быть 0 и 7 или 1 и 6 или 2 и 5 или 3 и 4: 40 740 или 47 040 или 41 640 или 46 140 или 42 540 или 45 240 или 43 440 или 44 340;
18 — 8 = 10, значит, числа могут быть 1 и 9 или 2 и 8 или 3 и 7 или 4 и 6 или 5 и 5: 41 940 или 49 140 или 42 840 или 48 240 или 43 740 или 47 340 или 44 640 или46 440 или 45 540;
21 — 8 = 13, значит, числа могут быть 4 и 9 или 5 и 8 или 6 и 7: 44 940 или 49 440 или 45 840 или 48 540 или 46 740 или 47 640;
24 — 8 = 16, значит, числа могут быть 7 и 9 или 8 и 8: 47 940 или 49 740 или 48 840.
в) 5 + 2 + 5 = 12, нужно добавить две цифры. Самое большое число — 9, если добавить две 9, то получим сумму 12 + 9 + 9 = 30, которая делится на 3. Также в промежутке от 12 до 30 следующие числа делятся на 3: 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30.
12 — 12 = 0, значит, числа могут быть 0 и 0: 50 205;
15 — 12 = 3, значит, числа могут быть 0 и 3 или 1 и 2: 50 235 или 53 205 или 51 225 или 52 215;
18 — 12 = 6, значит, числа могут быть 0 и 6 или 1 и 5 или 2 и 4 или 3 и 3: 50 265 или 56 205 или 51 255 или 55 215 или 52 245 или 54 225 или 53 235;
21 — 12 = 9, значит, числа могут быть 0 и 9 или 1 и 8 или 2 и 7 или 3 и 6 или 4 и 5: 50 295 или 59 205 или 51 285 или 58 215 или 52 275 или 57 225 или 53 265 или 56 235 или 54 255 или 55 245;
24 — 12 = 12, значит, числа могут быть 3 и 9 или 4 и 8 или 5 и 7 или 6 и 6: 53 295 или 59 235 или 54 285 или 58 245 или 55 275 или 57 255 или 56 265;
27 — 12 = 15, значит, числа могут быть 6 и 9 или 7 и 8: 56 295 или 59 265 или 57 285 или 58 275;
30 — 12 = 18, значит, числа могут быть 9 и 9: 59 295.
г) 7 + 2 + 8 = 17, нужно добавить две цифры. Самое большое число — 9, если добавить две 9, то получим сумму 17 + 9 + 9 = 35, которая не делится на 3. В промежутке от 17 до 35 следующие числа делятся на 3: 18, 21, 24, 27, 30, 33.
18 — 17 = 1, значит, числа могут быть 0 и 1: 72 018 или 72 108;
21 — 17 = 4, значит, числа могут быть 0 и 4 или 1 и 3 или 2 и 2: 72 048 или 72 408 или 72 138 или 72 318 или 72 228;
24 — 17 = 7, значит, числа могут быть 0 и 7 или 1 и 6 или 2 и 5 или 3 и 4: 72 078 или 72 708 или 72 168 или 72 618 или 72 258 или 72 528 или 72 348 или 72 438;
27 — 17 = 10, значит, числа могут быть 1 и 9 или 2 и 8 или 3 и 7 или 4 и 6 или 5 и 5: 72 198 или 72 918 или 72 288 или 72 828 или 72 378 или 72 738 или 72 468 или 72 648 или 72 558;
30 — 17 = 13, значит, числа могут быть 4 и 9 или 5 и 8 или 6 и 7: 72 498 или 72 948 или 72 588 или 72 858 или 72 678 или 72 768;
33 — 17 = 16, значит, числа могут быть 7 и 9 или 8 и 8: 72 798 или 72 978 или 72 888.
На 5 делятся числа, оканчивающиеся на цифру 0 и 5, поэтому все числа в пунктах а), б) и в) будут делиться на 5.
На 2 делятся числа, оканчивающиеся на цифру 0, 2, 4, 6, 8, поэтому все числа в пунктах б) и г) будут делиться на 2.
На 10 делятся числа, оканчивающиеся на цифру 0, поэтому все числа в пункте б) будут делиться на 10.
На 4 делятся числа, последние две цифры которых образуют число, кратное 4. Поэтому все числа в пункте б) и числа 72 108, 72 048, 72 408, 72 228, 72 708, 72 168, 72 528, 72 348, 72 288, 72 828, 72 468, 72 648, 72 948, 72 588, 72 768, 72 888 из пункта г) будут делиться на 4.
645. а) Напишите четырехзначное число, которое делится на 9. Может ли оно не делится на 3?
б) Напишите четырехзначное число, которое делится на 3, но не делится на 9.
а) 9333 делится на 9, поскольку 9 + 3 + 3 + 3 = 18, а 18 кратно 9. Не может, так как любое число обязательно делится на 3, если оно делится на 9, так как 9 кратно 3.
б) 2112 делится на 3, поскольку 2 + 1 + 1 + 2 = 6, а 6 кратно 3, но не делится на 9, так как 6 не кратно 9.
| ← Предыдущая | Следующая → |
Ответы по математике. 5 класс. Учебник. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В.