Делимость натуральных чисел
Делители натурального числа
Ответы к стр. 146
655. Запишите число в виде произведения двух множителей всеми возможными способами:
а) 32; б) 62; в) 51; г) 100.
а) Перебираем все делители числа 32 и перемножаем их попарно начиная снаружи ряда и идя к его середине: 1, 2, 4, 8, 16, 32, получается: 1 • 32 = 2 • 16 = 4 • 8 = 32.
б) Перебираем все делители числа 62 и перемножаем их попарно начиная снаружи ряда и идя к его середине: 1, 2, 31, 62, получается: 1 • 62 = 2 • 31 = 62.
в) Перебираем все делители числа 51 и перемножаем их попарно начиная снаружи ряда и идя к его середине: 1, 3, 17, 51, получается: 1 • 51 = 3 • 17 = 51.
г) Перебираем все делители числа 100 и перемножаем их попарно начиная снаружи ряда и идя к его середине (при этом оставшиеся число без пары умножаем само на себя): 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100, получается: 1 • 100 = 2 • 50 = 4 • 25 = 5 • 20 = 10 • 10 = 100.
656. Разложите на простые множители число:
а) 10; б) 100; в) 1000; г) 10000; д) 100000.
Решение. д) 100 000¦2 • 5
10 000¦2 • 5
1000¦2 • 5
100¦2 • 5
10¦2 • 5
1¦
100 000 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 = 25 • 55.
а) 10¦2 • 5
1¦
10 = 2 • 5.
б) 100¦2 • 5
10¦2 • 5
1¦
10 = 2 • 2 • 5 • 5 = 22 • 52.
в) 1000¦2 • 5
100¦2 • 5
10¦2 • 5
1¦
1000 = 2 • 2 • 2 • 5 • 5 • 5 = 23 • 53.
г) 10 000¦2 • 5
1000¦2 • 5
100¦2 • 5
10¦2 • 5
1¦
10 000 = 2 • 2 • 2 • 2 • 5 • 5 • 5 • 5 = 24 • 54.
657. Разложите на простые множители число:
а) 64; б) 200; в) 288; г) 256;
д) 333; е) 346; ж) 512; з) 8100;
и) 4096; к) 2500; л) 888; м) 2525.
а) 64¦2
32¦2
16¦2
8¦2
4¦2
2¦2
1¦
64 = 26
б) 200¦2
100¦2
50¦2
25¦5
5¦5
1¦
200 = 23 • 52
в) 288¦2
144¦2
72¦2
36¦2
18¦2
9¦3
3¦3
1¦
288 = 25 • 32
г) 256¦2
128¦2
64¦2
32¦2
16¦2
8¦2
4¦2
2¦2
1¦
256 = 28
д) 333¦3
111¦3
37¦37
1¦
333 = 32 • 37
е) 346¦2
173¦173
1¦
346 = 2 • 173
ж) 512¦2
256¦2
128¦2
64¦2
32¦2
16¦2
8¦2
4¦2
2¦2
1¦
512 = 29
з) 8100¦2
4050¦2
2025¦3
675¦3
225¦3
75¦3
25¦5
5¦5
1¦
8100 = 22 • 34 • 52
и) 4096¦2
2048¦2
1024¦2
512¦2
256¦2
128¦2
64¦2
32¦2
16¦2
8¦2
4¦2
2¦2
1¦
4096 = 212
к) 2500¦2
1250¦2
625¦5
125¦5
25¦5
5¦5
1¦
2500 = 22 • 54
л) 888¦2
444¦2
222¦2
111¦3
37¦37
1¦
888 = 23 • 3 • 37
м) 2525¦5
505¦5
101¦101
1¦
2525 = 52 • 101
658. Определите, является число простым или составным:
а) 89; б) 123; в) 279; г) 335;
д) 642; е) 601; ж) 729; з) 835;
и) 1571; к) 2563; л) 7777; м) 442 233.
а) 89 — простое, делится только на 1 и на само себя;
б ) 123 — составное, так как минимум делится еще и на 3 (1 + 2 + 3 = 6);
в) 279 — составное, так как минимум делится еще на 3 и на 9 (2 + 7 + 9 = 18);
г) 335 — составное, так как минимум делится еще и на 5 (оканчивается на 5);
д) 642 — составное, так как минимум делится еще и на 2 (оканчивается на 2);
е) 601 — простое, делится только на 1 и на само себя;
ж) 729 — составное, так как минимум делится еще на 3 и на 9 (7 + 2 + 9 = 18);
з) 835 — составное, так как минимум делится еще и на 5 (оканчивается на 5);
и) 1571 — простое, делится только на 1 и на само себя;
к) 2563 — составное, так как минимум делится еще и на 11;
л) 7777 — составное, так как минимум делится еще и на 7;
м) 442 233 — составное, так как минимум делится еще на 3 и на 9 (4 + 4 + 2 + 2 + 3 + 3 = 18).
659. а) Подберите такие натуральные числа α и b, чтобы выполнялось равенство: 3 • α + 6 • b = 1998.
б) Почему нельзя подобрать такие натуральные числа α и b, чтобы выполнялось равенство: 3 • α + 6 • b = 1999?
в) Можно ли подобрать такие натуральные числа α и b, чтобы выполнялось равенство: 18 • α + 81 • b = 996?
а) 3 • α + 6 • b = 1998
3 • (α + 2b) = 1998
α + 2b = 1998 : 3
α + 2b = 666
α = 666 — 2b
Пусть b = 50, тогда: α = 666 — 100 = 566.
б) При любых натуральных числах α и b левая часть равенства 3 • α + 6 • b = 1999 делится на 3, а правая нет — поэтому нельзя подобрать такие натуральные числа α и b, чтобы выполнялось это равенство.
в) При любых натуральных числах α и b левая часть равенства 18 • α + 81 • b = 996 делится на 9, а правая нет — поэтому нельзя подобрать такие натуральные числа α и b, чтобы выполнялось равенство.
660. а) Представьте число 8 в виде произведения нескольких множителей так, чтобы сумма этих множителей была равна 8.
б) Представьте число 35 в виде произведения нескольких множителей так, чтобы сумма этих множителей была равна 35.
а) 8¦2
4¦2
2¦2
1¦
Делители: 1, 2, 4, 8.
1 способ: 4 • 2 • 1 • 1 = 8 (4 + 2 + 1 + 1 = 8);
2 способ: 2 • 2 • 2 • 1 • 1 = 8 (2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 8).
б) 35¦5
7¦7
1¦
Делители: 1, 5, 7, 35.
7 • 5 • 1 = 7 • 5 • 123 = 35 (7 + 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 35).
661. а) Вася считает, что любое простое число можно записать в виде суммы натуральных чисел, произведение которых является простым числом. Подтверждая свое мнение, он приводит примеры:
3 = 2 + 1, 2 • 1 = 2 — простое число,
5 = 3 + 1 + 1, 3 • 1 • 1 = 3 — простое число и т. п. Приведите контр-пример, показывающий, что Вася не прав.
б) Как исправить утверждение Васи, чтобы оно стало верным?
а) 2 — просто число, его можно представить в виде суммы натуральных чисел: 1 + 1 = 2, 1 • 1 = 1 — не является ни простым ни составным числом.
б) Любое простое число отличное от 2 можно записать в виде суммы натуральных чисел, произведение которых является простым числом.
| ← Предыдущая | Следующая → |
Ответы по математике. 5 класс. Учебник. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В.