Делимость натуральных чисел
Наибольший общий делитель
Ответы к стр. 148
662. а) Какие числа называют взаимно простыми? Приведите примеры взаимно простых чисел.
б) Чему равен наибольший общий делитель взаимно простых чисел?
в) Известно, что число α делится нацело на число b. Чему равен НОД (α, b)?
а) Взаимно простыми числами называют числа, не имеющие общих простых делителей. Например, числа 58 и 47 взаимно простые: НОД (58, 47) = 1.
б) Наибольший общий делитель взаимно простых чисел равен 1.
в) НОД (α, b) = b.
663. Найдите все делители чисел 45 и 60. Найдите все общие делители чисел 45 и 60.
45¦3
15¦3
5¦5
1¦
Делители числа 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45.
60¦2
30¦2
15¦3
5¦5
1¦
Делители числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
Общие делители 45 и 60: 1, 3, 5, 15.
664. Найдите:
а) НОД (30, 36); б) НОД (50, 45); в) НОД (42, 48);
г) НОД (120, 150); д) НОД (124, 93); е) НОД (46, 69).
а) 30¦2 36¦2
15¦3 18¦2
5¦5 9¦3
1¦ 3¦3
1¦
30 = 1 • 2 • 3 • 5;
36 = 1 • 2 • 2 • 3 • 3;
НОД (30, 36) = 1 • 2 • 3 = 6.
б) 50¦2 45¦3
25¦5 15¦3
5¦5 5¦5
1¦ 1¦
50 = 1 • 2 • 5 • 5;
45 = 1 • 3 • 3 • 5;
НОД (50, 45) = 1 • 5 = 5.
в) 42¦2 48¦2
21¦3 24¦2
7¦7 12¦2
1¦ 6¦2
3¦3
1¦
42 = 1 • 2 • 3 • 7;
48 = 1 • 2 • 2 • 2 • 2 • 3;
НОД (42, 48) = 1 • 2 • 3 = 6.
г) 120¦2 150¦2
60¦2 75¦3
30¦2 25¦5
15¦3 5¦5
5¦5 1¦
1¦
120 = 1 • 2 • 2 • 2 • 3 • 5;
150 = 1 • 2 • 3 • 5 • 5;
НОД (120, 150) = 1 • 2 • 3 • 5 = 30.
д) 124¦2 93¦3
62¦2 31¦31
31¦31 1¦
1¦
124 = 1 • 2 • 2 • 31;
93 = 1 • 3 • 31;
НОД (124, 93) = 1 • 31 = 31.
е) 46¦2 69¦3
23¦23 23¦23
1¦ 1¦
46 = 1 • 2 • 23;
69 = 1 • 3 • 23;
НОД (46, 69) = 1 • 23 = 23.
665. Найдите:
а) НОД (24, 48); б) НОД (62, 31); в) НОД (132, 11);
г) НОД (256, 32); д) НОД (45, 15); е) НОД (21, 63).
а) 48 = 24 • 2, НОД (24, 48) = 24;
б) 62 = 31 • 2, НОД (62, 31) = 31;
в) 132 = 11 • 12, НОД (132, 11) = 11;
г) 256 = 32 • 8, НОД (256, 32) = 32;
д) 45 = 15 • 3, НОД (45, 15) = 15;
е) 63 = 21 • 3, НОД (21, 63) = 21.
666. Число 12321 делится на 111. Найдите НОД (12321, 111).
12321 = 111 • 111 = 1112, НОД (12321, 111) = 111.
667. Найдите:
а) НОД (14, 7); б) НОД (26, 13); в) НОД (48, 8);
г) НОД (64, 16); д) НОД (45, 9); е) НОД (11, 66).
а) 14 = 7 • 2, НОД (14, 7) = 7;
б) 26 = 13 • 2, НОД (26, 13) = 13;
в) 48 = 8 • 6, НОД (48, 8) = 8;
г) 64 = 16 • 4, НОД (64, 16) = 16;
д) 45 = 9 • 5, НОД (45, 9) = 9;
е) 66 = 11 • 6, НОД (11, 66) = 11.
668. С помощью разложения чисел на простые множители докажите, что являются взаимно простыми числа:
а) 24 и 35; б) 56 и 99; в) 63 и 88; г) 12 и 25; д) 32 и 33.
а) 24¦2 35¦5
12¦2 7¦7
6¦2 1¦
3¦3
1¦
Числа 24 и 35 не имеют общих простых делителей, а значит, являются взаимно простыми.
б) 56¦2 99¦3
28¦2 33¦3
14¦2 11¦11
7¦7 1¦
1¦
Числа 56 и 99 не имеют общих простых делителей, а значит, являются взаимно простыми.
в) 63¦3 88¦2
21¦3 44¦2
7¦7 22¦2
1¦ 11¦11
1¦
Числа 63 и 88 не имеют общих простых делителей, а значит, являются взаимно простыми.
г) 12¦2 25¦5
6¦2 5¦5
3¦3 1¦
1¦
Числа 12 и 25 не имеют общих простых делителей, а значит, являются взаимно простыми.
д) 32¦2 33¦3
16¦2 11¦11
8¦2 1¦
4¦2
2¦2
1¦
Числа 32 и 33 не имеют общих простых делителей, а значит, являются взаимно простыми.
669. Найдите:
а) НОД (13, 5); б) НОД (3, 11); в) НОД (29, 19);
г) НОД (54, 55); д) НОД (62, 63); е) НОД (98, 99).
а) 13 и 5 — простые числа, а два различных простых числа являются взаимно простыми, то есть не имеют общих делителей кроме 1, НОД (13, 5) = 1;
б) 3 и 11 — простые числа, а два различных простых числа являются взаимно простыми, то есть не имеют общих делителей кроме 1, НОД (3, 11) = 1;
в) 29 и 19 — простые числа, а два различных простых числа являются взаимно простыми, то есть не имеют общих делителей кроме 1, НОД (29, 19) = 1;
г) 54 и 55 — соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми, то есть не имеют общих делителей кроме 1, НОД (54, 55) = 1;
д) 62 и 63 — соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми, то есть не имеют общих делителей кроме 1, НОД (62, 63) = 1;
е) 98 и 99 — соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми, то есть не имеют общих делителей кроме 1, НОД (98, 99) = 1.
Доказываем
670. Докажите, что два простых числа являются взаимно простыми.
Простое число — число, которое делится только на 1 и на само себя. Поэтому у любых двух простых чисел имеется только один общий делитель — число 1. Поэтому эти числа взаимно простые.
671. Докажите, что два соседних натуральных числа являются взаимно простыми.
Разность двух соседних натуральных чисел равна 1. Если предположить, что эти числа имеют общий делитель, отличный от 1, то на него должно делиться число 1. Но 1 не делится ни на одно натуральное число, отличное от 1. Поэтому два соседних натуральных числа взаимно простые.
672. Придумайте пять пар таких чисел α и b, чтобы НОД (α, b) = 1.
1) 2 и 13;
2) 13 и 14;
3) 5 и 7;
4) 29 и 30;
5) 19 и 47.
673. Найдите:
а) НОД (320, 40); б) НОД (233, 79); в) НОД (278; 279);
г) НОД (484, 44); д) НОД (84, 96); е) НОД (100; 175).
а) 320 = 40 • 8, НОД (320, 40) = 40;
б) 233 и 79 — простые числа, а два различных простых числа являются взаимно простыми, то есть не имеют общих делителей кроме 1, следовательно, НОД (233, 79) = 1;
в) 278 и 279 — соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми, то есть не имеют общих делителей кроме 1, следовательно, НОД (278; 279) = 1;
г) 484 = 44 • 11, НОД (484, 44) = 44;
д)84¦2 96¦2
42¦2 48¦2
21¦3 24¦2
7¦7 12¦2
1¦ 6¦2
3¦3
1¦
84 = 1 • 2 • 2 • 3 • 7;
96 = 1 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 3;
НОД (84, 96) = 1 • 2 • 2 • 3 = 12;
е) 100¦2 175¦5
50¦2 35¦5
25¦5 7¦7
5¦5 1¦
1¦
100 = 1 • 2 • 2 • 5 • 5;
175 = 1 • 5 • 5 • 7;
НОД (100, 175) = 1 • 5 • 5 = 25.
674. Ученик нашел НОД (33, 198) и получил 66. Не проверяя вычислений, учитель определил, что была допущена ошибка. Как он это сделал?
На полученный результат должны делится оба числа, а 33 на 66 не делится, так как 33 < 66.
| ← Предыдущая | Следующая → |
Ответы по математике. 5 класс. Учебник. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В.