Делимость натуральных чисел
Наибольший общий делитель
Ответы к стр. 149
675. Объясните, почему наибольший общий делитель двух чисел:
а) не может быть больше одного из этих чисел;
б) делится на все общие делители этих чисел.
а) Если наибольший общий делитель будет больше одного из данных чисел, то это число не будет на него делиться (нельзя разделить нацело меньшее число на большее), а значит, наибольший общий делитель двух чисел не может быть больше одного из этих чисел.
б) Наибольший общий делитель является произведением общих простых множителей двух чисел, поэтому он делится на все общие делители этих чисел.
676. Даны разложения чисел α и b на простые множители. Найдите НОД (α, b).
а) α = 23 • 34 • 5 • 72, б) α = 24 • 32 • 52 • 113,
b = 22 • 35 • 52 •7; b = 2 • 53 • 7 • 192.
а) α = 23 • 34 • 5 • 72 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 3 • 5 • 7 • 7,
b = 22 • 35 • 52 • 7 = 2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 5 • 5 • 7,
НОД (α, b) = 22 • 34 • 5 • 7 = 4 • 81 • 5 • 7 = 11 340;
б) α = 24 • 32 • 52 • 113 = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • 5 • 11 • 11 • 11,
b = 2 • 53 • 7 • 192 = 2 • 5 • 5 • 5 • 7 • 19 • 19,
НОД (α, b) = 2 • 52 = 2 • 25 = 50.
677. Найдите:
а) НОД (1, 48); б) НОД (15, 55); в) НОД (182, 82);
г) НОД (100, 25); д) НОД (1000, 125); е) НОД (121, 11).
а) 48 = 1 • 48, НОД (1, 48) = 1;
б) 15¦3 55¦5
5¦5 11¦11
1¦ 1¦
15 = 1 • 3 • 5,
55 = 1 • 5 • 11,
НОД (15, 55) = 1 • 5 = 5;
в) 182¦2 82¦2
91¦7 41¦41
13¦13 1¦
1¦
182 = 1 • 2 • 7 • 13,
82 = 1 • 2 • 41,
НОД (182, 82) = 1 • 2 = 2;
г) 100 = 25 • 4, НОД (100, 25) = 25;
д) 1000 = 125 • 8, НОД (1000, 125) = 125;
е) 121=112, НОД (121, 11) = 11.
678. Для участия в эстафете нужно разделить 36 девочек и 24 мальчика на команды с одинаковым числом участников, состоящие только из мальчиков или только из девочек. Какое наибольшее число участников может быть в каждой команде? Сколько команд получится?
1) 36¦2 24¦2
18¦2 12¦2
9¦3 6¦2
3¦3 3¦3
1¦ 1¦
36 = 1 • 2 • 2 • 3 • 3,
24 = 1 • 2 • 2 • 2 • 3,
НОД (36, 24) = 1 • 2 • 2 • 3 = 12 (чел.) — наибольшее число участников в каждой команде
2) 36 : 12 + 24 : 12 = 3 + 2 = 5 (команд) — с наибольшим число участников
О т в е т: 12 участников, 5 команд.
679. Для новогодних подарков приготовили 184 мандарина и 138 яблок. В какое наибольшее число подарков можно разложить все эти мандарины и яблоки так, чтобы во всех подарках было поровну мандаринов и поровну яблок?
184¦2 138¦2
92¦2 69¦3
46¦2 23¦23
23¦23 1¦
1¦
184 = 1 • 2 • 2 • 2 • 23,
138 = 1 • 2 • 3 • 23,
НОД (184, 138) = 1 • 2 • 23 = 46 (шт.) — наибольшее число подарков
О т в е т: фрукты можно разложить в 46 подарков.
| ← Предыдущая | Следующая → |
Ответы по математике. 5 класс. Учебник. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В.