Делимость натуральных чисел
Занимательные задачи
Ответы к стр. 160
716. Если в одной руке кто-нибудь спрячет пятирублевую, а в другой — двух рублевую монету, то я могу легко определить, в какой руке спрятана двухрублевая монета. Для этого я попрошу умножить число рублей в правой руке на 2, в левой — на 3 и результаты сложить, а мне сообщить лишь, является сумма четной или нет. Если сумма четная, то двухрублевая монета в левой руке, если нечетная, то в правой. Разгадайте секрет фокуса.
Отметим, что:
1) для данного фокуса подойдут и другие монеты: рублевая и двухрублевая, пятирублевая и десяти рублевая, но не подойдут рублевая и пятирублевая монеты;
2) умножать можно на 2 и 5, на 4 и 5, на 6 и 9, но нельзя на 3 и 5.
Научитесь выполнять этот фокус.
Данный фокус выполняется так: одна из монет «чётная», а другая «нёчетная», и умножение выполняется также на чётное и нечётное число.
Пусть монета в правой руке равна α рублей, а в левой b рублей. Просим умножить число рублей в правой руке на 2, в левой — на 3 и результаты сложить. Получаем: α • 2 + b • 3.
Если α — чётное, а b — нечётное, то полученная сумма будет нечётной, так как при умножении 2 на чётное число получим чётное число, при умножении 3 на нечётное число получим нечётное число, а при сложении этих чисел (чётного и нечётного) получим нечетное число. А если наоборот (α — нечётное, а b — чётное), то полученная сумма будет чётной (так как при умножении 2 на нечётное число получим чётное число, при умножении 3 на чётное число получим чётное число, а при сложении этих чисел (чётного и чётного) получим чётное число). Исходя из этого делаем вывод, в какой руке лежит «чётная монета», а в какой «нечётная».
717. Найдите все числа вида 5α4b, кратные 36.
Если число 5α4b кратно 36, то оно кратно его делителям, в том числе оно делится на 4 и на 9. Значит, одновременно должны выполнятся 2 условия:
1) 4b делится на 4;
2) (5 + α + 4 + b) делится на 9.
Получается, что b может быть равно 0, 4 или 8.
1) Если b = 0, то: 5 + α + 4 + b = 5 + α + 4 + 0 = 9 + α.
Рассмотрим, при каких α сумма (9 + α) будет делиться на 9:
при α = 0: 9 + α = 9 + 0 = 9 — делится на 9;
при α = 9: 9 + α = 9 + 9 = 18 — делится на 9.
Значит, при b = 0, α = 0 или α = 9, возможны следующие варианты чисел: 5040 и 5940.
2) Если b = 4, то: 5 + α + 4 + b = 5 + α + 4 + 4 = 13 + α.
Рассмотрим, при каких α сумма (13 + α) будет делиться на 9:
при α = 5: 13 + α = 13 + 5 = 18 — делится на 9.
Значит, при b = 4, α = 5, возможный вариант числа: 5544.
3) Если b = 8, то: 5 + α + 4 + b = 5 + α + 4 + 8 = 17 + α.
Рассмотрим, при каких α сумма (17 + α) будет делиться на 9:
при α = 1: 17 + α = 17 + 1 = 18 — делится на 9.
Значит, при b = 8, α = 1, возможный вариант числа: 5148.
О т в е т: возможные варианты числа вида 5α4b, кратные 36: 5040, 5940, 5544, 5148.
718. Я предлагаю товарищу записать (так, чтобы я не видел) любое трёхзначное число, состоящее из различных цифр (без нуля). Пусть он теперь переставит цифры этого числа в любом порядке и получит новое число. Пусть меньшее из этих двух чисел он вычтет из большего числа, зачеркнёт одну цифру в полученной разности и назовет мне сумму незачёркнутых цифр. Тогда я могу легко определить, какую цифру зачеркнул мой товарищ. Объясните с помощью признака делимости на 9 этот фокус.
Сначала надо убедиться, что получаемая разность всегда будет делится на 9. Пусть дано трехзначное число αbc = 100α + 10b + c.
Переставим цифры этого числа, например, так: bcα = 100b + 10c + α.
Если первое число больше второго, то их разность равна:
αbc — bcα = 100α + 10b + c — 100b — 10c — α = 99α — 90b — 9c — это натуральное число, оно делится на 9.
При других перестановках цифр разности: 100α — α, 100α — 10α, 10α — α и другие делятся на 9, поэтому получаемая разность всегда будет делиться на 9: αbc, bcα, αbc, bcα.
Теперь можно определить зачеркнутую цифру, так как сумма цифр разности должна делится на 9.
Например, если задумали число 347, а после перестановки цифр получили 473, то разность 473 — 347 = 126.
Сумма цифр 1 + 2 + 6 делится на 9, а если зачеркнуть, например, 1, то сумма незачеркнутых цифр 2 + 6 = 8.
Так как до ближайшего числа, кратного 9, не хватает 1, то зачеркнутая цифра 1.
719. Вася увидел в тетради старшего брата странную, как ему показалось, запись: 5!.
− Что это за восклицательный знак? − спросил он.
− Это не восклицательный знак. Запись 5! читается «5 факториал» и означает произведение натуральных чисел от 1 до 5. А для любого натурального числа n (n > 1) запись n! читается «эн факториал» и означает произведение натуральных чисел от 1 до n:
n! = 1 • 2 • 3 • … • n.
Считается, что
1! = 1.
Вычислите 2!, 3!, 4!, 5!, 7!.
2! = 1 • 2 = 2;
3! = 1 • 2 • 3 = 6;
4! = 1 • 2 • 3 • 4 = 6 • 4 = 24;
5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 24 • 5 = 120;
7! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 = 120 • 42 = 5040.
Доказываем
720. Докажите, что:
а) 99 • 99! + 99! = 100!; б) 1000! — 999! = 999 • 999!.
а) 99 • 99! + 99! = 99 • 99! + 1 • 99! = 99! • (99 + 1) = 99! • 100 = 1 • 2 • 3 • 4 • … • 97 • 98 • 99 • 100 = 100!;
б) 1000! — 999! = 1 • 2 • 3 • 4 • … • 997 • 998 • 999 • 1000 — 999! = 999! • 1000 − 999! = 999! • (1000 − 1) = 999! • 999 = 999 • 999!
| ← Предыдущая | Следующая → |
Ответы по математике. 5 класс. Учебник. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В.