Делимость натуральных чисел
Занимательные задачи
Ответы к стр. 161
721. Старший брат выписал из справочника число 15! (см. задачу 719), а Вася случайно поставил в его тетради кляксу на одну цифру. Вот что из этого получилось:
15! = 130♣674368000.
Определите пропавшую цифру без справочника и не вычисляя произведение 1 • 2 • 3 • … • 15.
Число 15! делится на 9, так как содержит множитель 9 (15! = 1 • 2 • 3 • … • 9 • 10 • … • 15).
Сумма оставшихся без кляксы цифр равна:
1 + 3 + 0 + 6 + 7 + 4 + 3 + 6 + 8 + 0 + 0 + 0 = 38.
Цифра под кляксой должна дополнить сумму 38 до числа, делящегося на 9.
Следующее число после 38, которое делится на 9, равно 45, тогда:
45 — 38 = 7 — число, которое оказалось под кляксой.
О т в е т: 15! = 1307674368000.
722. а) Имеются ли среди чисел 2!, 3!, 4!, 5!, 6!, 7!, … (см. задачу 719) взаимно простые числа?
б) Чему равен наибольший общий делитель чисел 100! и 50!?
в) Чему равно наименьшее общее кратное чисел 100! и 50!?
а) Среди чисел 2!, 3!, 4!, 5!, 6!, 7!, … взаимно простых чисел нет, так как:
2! = 1 • 2,
3! = 2! • 3,
4! = 3! • 4 и т. д.
То есть все числа помимо 1 имеют как минимум общий делитель 2.
б) 100! делится на 50!, а значит, НОД (100!, 50!) = 50!
в) 100! делится на 50!, а значит, НОК (100!, 50!) = 100!
723. Задачи на рисование линии по указанным ранее правилам можно усложнить. Пусть требуется нарисовать фигуру таким образом, чтобы линия не пересекала себя. Например, «конверт», изображенный на рисунке 148, можно нарисовать, как на рисунке 149.
Нарисуйте фигуру (рис. 150), не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по одной линии дважды так, чтобы линия не пересекала себя ни в одной точке.
Указание. Фигуру следует раскрасить «в шахматном порядке», отсоединить закрашенные области друг от друга так, чтобы каждая из них имела не больше одной общей точки с какой-либо закрашенной областью. Остается обвести закрашенные и незакрашенные области по периметру (рис. 151).
Выполнить указание, раскрасив фигуру и обведя закрашенные и незакрашенные области.
| ← Предыдущая | Следующая → |
Ответы по математике. 5 класс. Учебник. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В.