6 класс. Математика. Никольский. Учебник. Ответы к стр. 44

Отношения, пропорции, проценты
Занимательные задачи

Ответы к стр. 44

Исследуем

195. Две фигуры называют равновеликими если их площади равны.
а) Постройте прямоугольник со сторонами 6 см и 4 см. Постройте два прямоугольника, равновеликие с построенным.
б) Какие стороны может иметь прямоугольник, равновеликий квадрату со стороной 8 см?
в) Какой наибольший периметр имеет прямоугольник, равновеликий квадрату со стороной 10 см?
Стороны прямоугольника выражаются натуральными числами.

а) 6 см • 4 см = 24 см² — площадь прямоугольника
Стороны равновеликого ему прямоугольника могут иметь стороны:
24 см² = 2 см и 12 см;
24 см² = 3 см и 8 см.

б) Стороны квадрата равны, тогда: 8 см • 8 см = 64 см² — площадь квадрата со стороной 8 см.
Стороны равновеликого ему прямоугольника могут иметь стороны:
64 см² = 1 см и 64 см;
64 см² = 2 см и 32 см;
64 см² = 16 см и 4 см.

в) Стороны квадрата равны, тогда: 10 см • 10 см = 100 см² — площадь квадрата со стороной 10 см.
Стороны равновеликого ему прямоугольника могут иметь стороны:
100 см² = 1 см и 100 см;
100 см² = 2 см и 50 см;
100 см² = 4 см и 25 см.
Периметр прямоугольника равен сумме длин всех его сторон, тогда:
2 • (1 см + 100 см) = 202 см;
2 • (2 см + 50 см) = 104 см;
2 • (4 см + 25 см) = 58 см.
Периметр прямоугольника со сторонами 1 см и 100 см наибольший.

Доказываем

196. Две равные фигуры наложили друг на друга (рис. 24). Докажите, что площади закрашенных фигур равны.

Обозначим площадь голубой части как S₁, площадь серой части как S₂, площадь белой части как S₃, тогда:
— площадь первого прямоугольника равна S₁ + S₃;
— площадь второго прямоугольника равна S₂ + S₃.
Так как по условию задачи прямоугольники равны, то:
S₁ + S₃ = S₂ + S₃
S₁ = S₂ + S₃ — S₃
S₁ = S₂ — то есть площади закрашенных фигур равны.

197. Вычислите площадь треугольника (рис. 25).

а) AD = 15 мм, DB = 20 мм.
Достраиваем треугольник ABD до прямоугольника ACBD.
Площадь прямоугольника равна: S_ACBD = AD • DB = 15 мм • 20 мм = 300 мм².
Прямоугольник состоит из двух равных треугольников, тогда площадь треугольника ABD равна: 300 мм² : 2 = 150 мм².

б) DC = 20 мм, DB = 20 мм.
Достраиваем треугольник DBC до прямоугольника DBAC. Так как DC = DB, то получился квадрат со стороной 20 мм.
Площадь квадрата равна: S_DBAC = DC • DB = 20 мм • 20 мм = 400 мм².
Квадрат состоит из двух равных треугольников, тогда площадь треугольника BDC равна: 400 мм² : 2 = 200 мм².

в) AD = 15 мм, DB = 20 мм.
Достраиваем треугольник ABD до прямоугольника AEBD.
Площадь прямоугольника равна: S_AEBD = AD • DB = 15 мм • 20 мм = 300 мм².
Прямоугольник состоит из двух равных треугольников, тогда площадь треугольника ABD равна: 300 мм² : 2 = 150 мм².
DC = 20 мм, DB = 20 мм.
Достраиваем треугольник DBC до прямоугольника DBFC. Так как DC = DB, то получился квадрат со стороной 20 мм.
Площадь квадрата равна: S_DBFC = DC • DB = 20 мм • 20 мм = 400 мм².
Квадрат состоит из двух равных треугольников, тогда площадь треугольника BDC равна: 400 мм² : 2 = 200 мм².
Площадь фигуры равна сумме площадей составляющих её частей, следовательно, площадь треугольника ABC = площадь треугольника ABD + площадь треугольника BDC = 150 мм² + 200 мм² = 350 мм².

198. На рисунке 26 изображен параллелограмм (четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны). Вычислите его площадь, если AD = 3 см, BK = 2 см.

Из точки C проведём отрезок CH параллельный и равный отрезку BK. Треугольники ABK и CDH равны, тогда прямоугольники ABCD и BCHK равновеликие, то есть их площади равны.
AD = BC = 3 см, BK = CH = 2 см.
Площадь BCHK = BC • CH = 3 см • 2 см = 6 см².
Площадь ABCD = площадь BCHK = 6 см².

199. На рисунке 27 изображена трапеция (четырёхугольник, две стороны которого параллельны, а две другие — не параллельны). Вычислите её площадь, если AD = 5 см, BC = 2 см, BK = 2 см.

Достроим трапецию до прямоугольника AMPD.
BK = PD = 2 см.
Площадь прямоугольника AMPD = AD • PD = 5 см • 2 см = 10 см².
Площадь прямоугольника BCNK = BC • BK = 2 см • 2 см = 4 см².
Сумма площадей прямоугольников AMBK и CPDN равна разности площадей прямоугольников AMPD и BCNK = 10 см² — 4 см² = 6 см².
Сумма площадей треугольников ABK и CDN = Сумма площадей прямоугольников AMBK и CPDN : 2 = 6 см² : 2 = 3 см².
Площадь трапеции ABCD = Площадь прямоугольника BCNK + сумма площадей треугольников ABK и CDN = 4 см² + 3 см² = 7 см².

Ответы по математике. 6 класс. Учебник. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В.

Математика. 6 класс