Алгебраические выражения
Формулы сокращённого умножения
Квадрат разности
Ответы к стр. 104
358. Доказываем. Докажите тождество:
а) (α − b)2 = (b − α)2; б) (−α − b)2 = (α + b)2.
а) (α − b)2 = α2 − 2αb + b2 = b2 − 2αb + α2 = (b − α)2 — тождество доказано;
б) (−α − b)2 = (−α)2 − 2•(−α)•b + b2 = α2 + 2αb + b2 = (α + b)2 — тождество доказано.
359. Вместо букв C и D подберите одночлены так, чтобы выполнялось равенство:
а) (α − C)2 = α2 − 4α + 4; б) (C − y)2 = 4x2 – D + y2;
в) (C − D)2 = 9m2 − 12mn + 4n2; г) (C + 3q)2 = D − 24pq + 9q2.
а) (α − C)2 = α2 − 4α + 4
C2 = 4
C2 = 22
C = 2
б) (C − y)2 = 4x2 – D + y2
C2 = 4x2 D = 2•2x•y
C2 = (2x)2 D = 4xy
C = 2x
в) (C − D)2 = 9m2 − 12mn + 4n2
C2 = 9m2 D2 = 4n2
C2 = (3m)2 D2 = (2n)2
C = 3m D = 2n
г) (C + 3q)2 = D − 24pq + 9q2
C = 24pq : (2•3q) = 24pq : 6q = 4p
D = C2
D = (4p)2
D = 16p2
360. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
а) (m + n)2 + (m — n)2; б) 2(α — 1)2 + 3(α — 2)2;
в) 5(x — у)2 + (x — 2у)2; г) 4(m — 2n)2 — 3(3m + n)2;
д) 3(2α — b)2 — 5(α — 2b)2; е) 4(Зx + 4у)2 — 7(2x — Зy)2;
ж) 2(р — 3q)2 — 4(2р — q)2 — (2q — 3р)(р + q);
з) 5(n — 5m)2 — 6(2n — 3m)2 — (Зm — n)(7m — n);
и) (2р — q)2 — 2(2р — q)(p — q) + (р — q)2.
а) (m + n)2 + (m — n)2 = m2 + 2mn + n2 + m2 − 2mn + n2 = 2m2 + 2n2;
б) 2(α — 1)2 + 3(α — 2)2 = 2(α2 − 2α + 1) + 3(α2 − 4α + 4) = 2α2 − 4α + 2 + 3α2 − 12α + 12 = 5α2 − 16α + 14;
в) 5(x — у)2 + (x — 2у)2 = 5(x2 − 2xy + y2) + (x2 − 4xy + 4y2) = 5x2 − 10xy + 5y2 + x2 − 4xy + 4y2 = 6x2 − 14xy + 9y2;
г) 4(m — 2n)2 — 3(3m + n)2 = 4(m2 − 4mn + 4n2) − 3(9m2 + 6mn + n2) = 4m2 − 16mn + 16n2 − 27m2 − 18mn − 3n2 = −23m2 − 34mn + 13n2;
д) 3(2α — b)2 — 5(α — 2b)2 = 3(4α2 − 4αb + b2) − 5(α2 − 4αb + 4b2) = 12α2 − 12αb + 3b2 − 5α2 + 20αb − 20b2 = 7α2 + 8αb − 17b2;
е) 4(Зx + 4у)2 — 7(2x — Зy)2 = 4(9x2 + 24xy + 16y2) − 7(4x2 − 12xy + 9y2) = 36x2 + 96xy + 64y2 − 28x2 + 84xy − 63y2 = 8x2 + 180xy + y2;
ж) 2(р — 3q)2 — 4(2р — q)2 — (2q — 3р)(р + q) = 2(p2 − 6pq + 9q2) − 4(4p2 − 4pq + q2) − (2pq − 3p2 + 2q2 − 3pq) = 2p2 − 12pq + 18q2 − 16p2 + 16pq − 4q2 − (−pq − 3p2 + 2q2) = −14p2 + 4pq + 14q2 + pq + 3p2 − 2q2 = −11p2 + 5pq + 12q2;
з) 5(n — 5m)2 — 6(2n — 3m)2 — (Зm — n)(7m — n) = 5(n2 − 10mn + 25m2) − 6(4n2 − 12mn + 9m2) − (21m2 − 7mn − 3mn + n2) = 5n2 − 50mn + 125m2 − 24n2 + 72mn − 54m2 − (21m2 − 10mn + n2) = −19n2 + 22mn + 71m2 − 21m2 + 10mn − n2 = −20n2 + 32mn + 50m2;
и) (2р — q)2 — 2(2р — q)(p — q) + (р — q)2 = 4p2 − 4pq + q2 − 2(2p2 – pq − 2pq + q2) + p2 − 2pq + q2 = 4p2 − 4pq + q2 − 4p2 + 2pq + 4pq − 2q2 + p2 − 2pq + q2 = p2.
361. Запишите в виде многочлена выражение:
а) (x — 2у)2; б) (αb — с)2; в) (5ху — 2)2.
а) (x — 2у)2 = x2 − 2•x•2y + (2y)2 = x2 − 4xy + 4y2;
б) (αb — с)2 = (αb)2 − 2•αb•c + c2 = α2b2 − 2αbc + c2;
в) (5ху — 2)2 = (5xy)2 − 2•5xy•2 + 22 = 25x2y2 − 20xy + 4.
362. Выясните, является ли многочлен квадратом какого-либо двучлена:
а) α2 — 4αb + 4b2; б) x2 — 4x + 4; в) α4 — 2α2 + 1.
а) α2 − 4αb + 4b2 = α2 − 2•2αb + (2b)2 = (α − 2b)2;
б) x2 – 4x + 4 = x2 − 2•x•2 + 22 = (x − 2)2;
в) α4 − 2α2 + 1 = (α2)2 − 2•α2•1 + 12 = (α2 − 1)2.
363. Используя приближённое равенство (1 — x)2 ≈ 1 — 2x, вычислите:
а) 0,982; б) 0,9992; в) 0,9982; г) 0,99972.
Замечание. Приближённое значение числа отличается от точного значения на величину x2, которая будет мала при значениях х, близких к нулю.
Например:
0,992 = (1 — 0,01)2 ≈ 1 — 2•0,01 = 0,98.
а) 0,982 = (1 − 0,02)2 ≈ 1 − 2•0,02 = 1 − 0,04 = 0,96;
б) 0,9992 = (1 − 0,001)2 ≈ 1 − 2•0,001 = 1 − 0,002 = 0,998;
в) 0,9982 = (1 − 0,002)2 ≈ 1 − 2•0,002 = 1 − 0,004 = 0,996;
г) 0,99972 = (1 − 0,0003)2 ≈ 1 − 2•0,0003 = 1 − 0,006 = 0,9994.
| ← Предыдущая | Следующая → |