Алгебраические выражения
Формулы сокращённого умножения
Выделение полного квадрата
Ответы к стр. 107
Выделите полный квадрат из многочлена (368-370):
370. а) 4х2 + 4х + 5; б) 9x2 + 6x + 7;
в) 16х2 + 8x — 1; г) 25х2 + 20x + 3;
д) 4х2 + 4х + 3; е) 9x2 + 18x + 4;
ж) 2x2 + 4х + 5; з) 5x2 + 20x + 1;
и) Зx2 — 12x + 16; к) 6x2 — 24x + 1.
а) 4х2 + 4х + 5 = (2x)2 + 2•2x + 1 + 4 = (2x + 1)2 + 4;
б) 9x2 + 6x + 7 = (3x2) + 2•3x + 1 + 6 = (3x + 1)2 + 6;
в) 16х2 + 8x – 1 = (4x)2 + 2•4x•1 + 1 – 2 = (4x + 1)2 − 2;
г) 25х2 + 20x + 3 = (5x)2 + 2•5x•2 + 22 – 1 = (5x + 2)2 − 1;
д) 4х2 + 4х + 3 = (2x)2 + 2•2x + 1 + 2 = (2x + 1)2 + 2;
е) 9x2 + 18x + 4 = (3x)2 + 2•3x•3 + 32 – 32 + 4 = (3x + 3)2 – 9 + 4 = (3x + 3)2 − 5;
ж) 2x2 + 4х + 5 = 2(x2 + 2x + 2,5) = 2(x2 + 2x + 1 + 1,5) = 2(x + 1)2 + 2•1,5 = 2(x + 1)2 + 3;
з) 5x2 + 20x + 1 = 5(x2 + 4x + 1/5) = 5(x2 + 4x + 4 – 4 + 1/5) = 5(x + 2)2 + 5(−4 + 1/5) = 5(x + 2)2 + 5•(−34/5) = 5(x + 2)2 − 5•19/5 = 5(x + 2)2 − 19;
и) Зx2 — 12x + 16 = 3(x2 − 4x + 16/3) = 3(x2 − 4x + 4 – 4 + 51/3) = 3(x − 2)2 + 3(51/3 − 4) = 3(x − 2)2 + 3•11/3 = 3(x − 2)2 + 3•4/3 = 3(x − 2)2 + 4;
к) 6x2 — 24x + 1 = 6(x2 − 4x) + 1 = 6(x2 − 4x + 4 − 4) + 1 = 6(x − 2)2 − 6•4 + 1 = 6(x − 2)2 – 24 + 1 = 6(x − 2)2 − 23.
Доказываем (371-373):
371. Докажите, что для любого числа x верно неравенство:
а) x2 + 2x + 1 ≥ 0; б) x2 + 4x + 4 ≥ 0;
в) x2 — 6x + 9 ≥ 0; г) x2 — 8x + 16 ≥ 0.
а) x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 ≥ 0 − верно при любых значениях x, так как квадрат положительного или отрицательного числа есть число положительное;
б) x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 ≥ 0 − верно при любых значениях x, так как квадрат положительного или отрицательного числа есть число положительное;
в) x2 — 6x + 9 = (x − 3)2 ≥ 0 − верно при любых значениях x, так как квадрат положительного или отрицательного числа есть число положительное;
г) x2 — 8x + 16 = (x − 4)2 ≥ 0 − верно при любых значениях x, так как квадрат положительного или отрицательного числа есть число положительное.
372. Докажите, что для любого числа х верно неравенство:
а) x2 + 2x + 2 > 0; б) х2 + 4x + 5 > 0;
в) x2 — 6x + 11 > 0; г) x2 — 8х + 17 > 0.
а) x2 + 2x + 2 = x2 + 2x + 1 + 1 = (x + 1)2 + 1 > 0 − верно при любых значениях x;
б) х2 + 4x + 5 = x2 + 4x + 4 + 1 = (x + 2)2 + 1 > 0 − верно при любых значениях x;
в) x2 — 6x + 11 = x2 − 6x + 9 + 2 = (x − 3)2 + 2 > 0 − верно при любых значениях x;
г) x2 — 8х + 17 = x2 − 8x + 16 + 1 = (x − 4)2 + 1>0 − верно при любых значениях x.
373. Докажите, что для любых чисел х и у верно неравенство:
а) х2 + у2 — 8х + 4у + 20 ≥ 0; б) х2 + у2 + 12х — 6у + 45 ≥ 0;
в) х2 + у2 — 6х + 10y + 34 ≥ 0; г) х2 + у2 + 10x — 10у + 50 ≥ 0.
а) х2 + у2 — 8х + 4у + 20 = x2 − 8x + 16 + y2 + 4y + 4 = (x − 4)2 + (y + 2)2 ≥ 0 − верно для любых чисел x и y;
б) х2 + у2 + 12х — 6у + 45 = x2 + 12x + 36 + y2 − 6y + 9 = (x + 6)2 + (y − 3)2 ≥ 0 − верно для любых чисел x и y;
в) х2 + у2 — 6х + 10y + 34 = x2 − 6x + 9 + y2 + 10y + 25 = (x − 3)2 + (y + 5)2 ≥ 0 − верно для любых чисел x и y;
г) х2 + у2 + 10x — 10у + 50 = x2 + 10x + 25 + y2 − 10y + 25 = (x + 5)2 + (y − 5)2 ≥ 0 − верно для любых чисел x и y.
Разность квадратов
374. Запишите и прочитайте формулу разности квадратов.
α2 — b2 = (α + b)(α — b)
Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел и их разности.
375. Заполните пропуски, применив формулу разности квадратов:
а) (x − y)(x + y) = …; б) m2 − n2 = … .
а) (x − y)(x + y) = x2 − y2;
б) m2 − n2 = (m − n)(m + n).
| ← Предыдущая | Следующая → |