Алгебраические выражения
Формулы сокращённого умножения
Разность квадратов
Ответы к стр. 109
385. Упростите выражение:
а) α(α — b) + b(α + b) + (α — b)(α + b);
б) (m — n)(n + m) — (m — n)2 + 2n2;
в) (с — d)2 — (с + d)(d — с) + 2cd;
г) (2α + 5b)(5α — 2b) — 3(α + 2b)(α — 2b);
д) (р + 6)2 — 4(3 — р)(3 + р);
е) -(2 + m)2 + 2(1 + m)2 — 2(1 — m)(m + 1);
ж) (х + у)2 — (х — у)2;
з) (m — n)2 — (m + n)2.
а) α(α − b) + b(α + b) + (α − b)(α + b) = α2 – αb + αb + b2 + α2 − b2 = 2α2;
б) (m — n)(n + m) — (m — n)2 + 2n2 = (m − n)(m + n) − (m − n)2 + 2n2 = m2 − n2 − (m2 − 2mn + n2) + 2n2 = m2 − n2 − m2 + 2mn − n2 + 2n2 = 2mn;
в) (с — d)2 — (с + d)(d — с) + 2cd = (c − d)2 − (d + c)(d − c) + 2cd = c2 − 2cd + d2 − (d2 − c2) + 2cd = c2 − 2cd + d2 − d2 + c2 + 2cd = 2c2;
г) (2α + 5b)(5α — 2b) — 3(α + 2b)(α — 2b) = 10α2 + 25αb − 4αb − 10b2 − 3(α2 − 4b2) = 10α2 + 21αb − 10b2 − 3α2 + 12b2 = 7α2 + 21αb + 2b2;
д) (р + 6)2 — 4(3 — р)(3 + р) = p2 + 12p + 36 − 4(9 − p2) = p2 + 12p + 36 – 36 + 4p2 = 5p2 + 12p;
е) -(2 + m)2 + 2(1 + m)2 — 2(1 — m)(m + 1) = −(2 + m)2 + 2(1 + m)2 − 2(1 − m)(1 + m) = −(4 + 4m + m2) + 2(1 + 2m + m2) − 2(1 − m2) = −4 − 4m − m2 + 2 + 4m + 2m2 – 2 + 2m2 = 3m2 − 4;
ж) (х + у)2 — (х — у)2 = x2 + 2xy + y2 − (x2 − 2xy + y2) = x2 + 2xy + y2 − x2 + 2xy − y2 = 4xy;
з) (m — n)2 — (m + n)2 = m2 − 2mn + n2 − (m2 + 2mn + n2) = m2 − 2mn + n2 − m2 − 2mn − n2 = −4mn.
386. Доказываем. Докажите тождество:
а) (α — b)2 + (α — b) (b + α) = 2α(α — b);
б) 2(х + 5)2 — 2(5 — х)(5 + х) = 4x(x + 5);
в) 2(с — З)2 — 4(1 — с)(с + 1) = 6(с — 1)2 + 8;
г) 3(m — 4)(4 + m) — 3(2 — m)2 = 12(m — 5).
а) (α — b)2 + (α — b) (b + α) = α2 − 2αb + b2 + α2 − b2 = 2α2 − 2αb = 2α(α − b) — левая часть равна правой части;
б) 2(х + 5)2 — 2(5 — х)(5 + х) = 2(x2 + 10x + 25) − 2(25 − x2) = 2x2 + 20x + 50 – 50 + 2x2 = 4x2 + 20x = 4x(x + 5) — левая часть равна правой части;
в) 2(с — З)2 — 4(1 — с)(с + 1) = 2(c2 − 6c + 9) − 4(1 − c2) = 2c2 − 12c + 18 – 4 + 4c2 = 6c2 − 12c + 14,
6(с — 1)2 + 8 = 6(c2 − 2c + 1) + 8 = 6c2 − 12c + 6 + 8 = 6c2 − 12c + 14 — левая часть равна правой части;
г) 3(m — 4)(4 + m) — 3(2 — m)2 = 3(m2 − 16) − 3(4 − 4m + m2) = 3m2 – 48 – 12 + 12m − 3m2 = 12m – 60 = 12(m − 5) — левая часть равна правой части.
387. Старинная задача. Я купил столько коробок с мылом, сколько было кусков в коробке. Сестра купила на 3 коробки меньше, чем я, но в каждой было на 3 куска больше, чем в купленных мной. У кого больше кусков и на сколько?
Пусть x – коробок с мылом купил я, и x — кусков мыла в одной моей коробке, тогда: x•x = x2 — кусков мыла у меня всего.
x − 3 — коробки с мылом купила сестра и x + 3 — кусков мыла в одной коробке сестры, тогда: (x − 3)(x + 3) = x2 − 9 – кусков мыла всего у сестры.
Сравним количество кусков мыла у меня и у сестры:
x2 > x2 – 9 − у меня больше кусков мыла;
x2 − (x2 − 9) = x2 − x2 + 9 = 9 — кусков мыла больше у меня, чем у сестры.
О т в е т: на 9 кусков мыла больше у меня, чем у сестры.
Разложите на множители выражение (388-389):
388. а) (Зх + 2)2 — х2; б) (2х — 5)2 — х2;
в) (4х + З)2 — (х + 1)2; г) (5х — 2)2 — (х — 1)2.
а) (Зх + 2)2 — х2 = (3x + 2 − x)(3x + 2 + x) = (2x + 2)(4x + 2) = 2(x + 1)•2(2x + 1) = 4(x + 1)(2x + 1);
б) (2х — 5)2 — х2 = (2x – 5 − x)(2x – 5 + x) = (x − 5)(3x − 5);
в) (4х + З)2 — (х + 1)2 = (4x + 3 – x − 1)(4x + 3 + x + 1) = (3x + 2)(5x + 4);
г) (5х — 2)2 — (х — 1)2 = (5x – 2 – x + 1)(5x – 2 + x − 1) = (4x − 1)(6x − 3) = 3(4x − 1)(2x − 1).
389. а) (Зх + у)2 — (2х — Зу)2; б) (4х + Зу)2 — (Зх – 4у)2;
в) (5х — 2у)2 — (2х — у)2; г) (2х — 4у)2 — (5х + у)2;
д) (2х2 — у)2 — х4; е) (х2 – 2у)2 — у4;
ж) (Зх2 — 2у)2 — 4х4; з) (4х2 + Зу)2 — 9у4.
а) (Зх + у)2 — (2х — Зу)2 = (3x + y − 2x + 3y)(3x + y + 2x − 3y) = (x + 4y)(5x − 2y);
б) (4х + Зу)2 — (Зх – 4у)2 = (4x + 3y − 3x + 4y)(4x + 3y + 3x − 4y) = (x + 7y)(7x − y);
в) (5х — 2у)2 — (2х — у)2 = (5x − 2y − 2x + y)(5x − 2y + 2x − y) = (3x − y)(7x − 3y);
г) (2х — 4у)2 — (5х + у)2 = (2x − 4y − 5x − y)(2x − 4y + 5x + y) = (−3x − 5y)(7x − 3y) = −(3x + 5y)(7x − 3y);
д) (2х2 — у)2 — х4 = (2x2 – y − x2)(2x2 – y + x2) = (x2 − y)(3x2 − y);
е) (х2 – 2у)2 — у4 = (x2 − 2y − y2)(x2 − 2y + y2);
ж) (Зх2 — 2у)2 — 4х4 = (3x2 − 2y − 2x2)(3x2 − 2y + 2x2) = (x2 − 2y)(5x2 − 2y);
з) (4х2 + Зу)2 — 9у4 = (4x2 + 3y − 3y2)(2x2 + 3y + 3y2).
| ← Предыдущая | Следующая → |