Алгебраические выражения
Формулы сокращённого умножения
Применение формул сокращённого умножения
Ответы к стр. 118
Доказываем (448-449):
448. Задача Пифагора. Докажите, что всякое нечётное натуральное число, кроме 1, есть разность квадратов двух последовательных натуральных чисел.
Пусть 2x + 1 – нечётное натуральное число, не равное 1, последовательные натуральные числа: x и x + 1, тогда:
2x + 1 = (x + 1)2 — x2
2x + 1 = x2 + 2x + 1 — x2
2x + 1 = 2x + 1
449. Задача Диофанта. Докажите, что произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма двух квадратов, само представляется двумя способами в виде суммы двух квадратов:
(α2 + b2)(c2 + d2) = (αc + bd)2 + (bc − αd)2;
(α2 + b2)(c2 + d2) = (αc − bd)2 + (bc + αd)2.
(α2 + b2)(c2 + d2) = α2c2 + b2c2 + α2d2 + b2d2,
(αc + bd)2 + (bc − αd)2 = α2c2 + 2αbcd + b2d2 + b2c2 − 2αbcd + α2d2 = α2c2 + b2c2 + α2d2 + b2d2 – левая и правая части равны;
(α2 + b2)(c2 + d2) = α2c2 + b2c2 + α2d2 + b2d2,
(αc − bd)2 + (bc + αd)2 = α2c2 − 2αbcd + b2d2 + b2c2 + 2αbcd + α2d2 = α2c2 + b2c2 + α2d2 + b2d2 — левая и правая части равны.
| ← Предыдущая | Следующая → |