Алгебраические выражения
Многочлены
Тождественное равенство целых выражений
Ответы к стр. 99
333. а) Что называют тождеством?
б) Является ли тождеством верное равенство между целыми выражениями?
в) Приведите примеры тождественно равных целых выражений.
г) Приведите примеры многочленов, тождественно равных нулю.
а) Тождество − это равенство между буквенными выражениями, если оно превращается в верное числовое равенство при подстановке в него вместо букв любых чисел.
б) Верное равенство между целыми выражениями является тождеством.
в) 3α + 6b = 6b + 3α, x + 7y = 7y + x.
г) 5α3 — 3α2 — 3α3 — 2α3 + 3α2, 3x2 — x2 — 2x2.
334. Являются ли следующие выражения тождественно равными (объясните почему):
а) (х + у) и (у + х); б) с(Зху) и Зсху;
в) (2α + 7 + α) и (Зα + 7); г) x(Зx — 8) и (3x2 – 8х);
д) (3m — 2n) и (m — 2n + m); е) (2x — 3) и (Зx + 5);
ж) (х + 1)(x — 1) и х2 — 1; з) (х + 2)(х — 2) и х2 — 4;
и) (1 + у)( 1 — у) и 1 — у2; к) (3 + у)(3 — у) и 9 — у2;
л) (2х + 1)(2x — 1) и 4x2 — 1; м) (x + у)(х — у) и х2 — у2?
а) (х + у) = (у + х) — являются тождественно равными на основании переместительного свойства сложения;
б) с(Зху) = Зсху — являются тождественно равными на основании переместительного свойства умножения;
в) (2α + 7 + α) = (Зα + 7) — являются тождественно равными, так как 2α + 7 + α = (2α + α) + 7 = Зα + 7;
г) x(Зx — 8) = (3x2 – 8х) — являются тождественно равными на основании правила умножения одночлена на многочлен;
д) (3m — 2n) и (m — 2n + m) — не являются тождественно равными, так как m — 2n + m = 2m — 2n;
е) (2x — 3) и (Зx + 5) − не являются тождественно равными;
ж) (х + 1)(x — 1) = х2 — 1 — являются тождественно равными, так как (х + 1)(x — 1) = x2 + x – x – 1 = x2 − 1;
з) (х + 2)(х — 2) = х2 — 4 — являются тождественно равными, так как (х + 2)(х — 2) = x2 + 2x — 2x – 4 = x2 — 4;
и) (1 + у)( 1 — у) = 1 — у2 — являются тождественно равными, так как (1 + у)( 1 — у) = 1 + y – y − y2 = 1 − y2;
к) (3 + у)(3 — у) = 9 — у2 — являются тождественно равными, так как (3 + у)(3 — у) = 9 + 3y − 3y − y2 = 9 − y2;
л) (2х + 1)(2x — 1) = 4x2 — 1 — являются тождественно равными, так как (2х + 1)(2x — 1) = 4x2 + 2x − 2x – 1 = 4x2 – 1;
м) (x + у)(х — у) и х2 — у2 — являются тождественно равными, так как (x + у)(х — у) = x2 + xy – xy − y2 = x2 − y2.
335. Являются ли следующие выражения тождественно равными (объясните почему):
а) 2 + х и x + 2; б) 2α + 5 и α — 1 + α + 6;
в) x2 — х + 3 и 3 — x + x2; г) 2(Зx — 1) и 6x — 2;
д) х + у — 2х + Зу и 4у — х; е) 2α — b3 + Зb и 2α;
ж) Зx + 4x + 5x + 1 и 12x + 1; з) 5х — 2у + х и -2у + 6x;
и) х2 + 2у и 2(х2 + у) — х2; к) Зх(х — у) и Зу(у — х);
л) (x — у)у и (х — у)х; м) (х + у)х и (х — у)х?
а) 2 + x = x + 2 − являются тождественно равными на основании переместительного свойства сложения;
б) 2α + 5 = α — 1 + α + 6 − являются тождественно равными, так как α — 1 + α + 6 = (α + α) + (6 − 1) = 2α + 5;
в) x2 — х + 3 = 3 — x + x2 − являются тождественно равными, на основании переместительного и сочетательного свойства сложения;
г) 2(Зx — 1) = 6x — 2 − являются тождественно равными, так как 2(Зx — 1) = 6х – 2;
д) х + у — 2х + Зу = 4у — х − являются тождественно равными, так как х + у — 2х + Зу = (y + 3y) + (x − 2x) = 4y – x;
е) 2α — b3 + Зb = 2α − являются тождественно равными, так как 2α — b3 + Зb = 2α − 3b + 3b = 2α;
ж) Зx + 4x + 5x + 1 = 12x + 1 − являются тождественно равными, так как Зx + 4x + 5x + 1 = (3х + 4х + 5х) + 1 = 12x + 1;
з) 5х — 2у + х и -2у + 6x − являются тождественно равными, так как 5х — 2у + х = (5x + x) − 2y = 6x − 2y = -2y + 6x;
и) х2 + 2у = 2(х2 + у) — х2 − являются тождественно равными, так как 2(х2 + у) — х2 = 2x2 + 2y − x2 = (2x2 − x2) + 2y = x2 + 2y;
к) Зх(х — у) и Зу(у — х) − не являются тождественно равными, так как Зх(х — у) = 3x2 − 3xy, Зу(у — х) = 3y2 − 3xy, 3x2−3xy ≠ 3y2 − 3xy;
л) (x — у)у и (х — у)х − не являются тождественно равными, так как (x — у)у = xy − y2, (х — у)х = x2 − xy, xy − y2 ≠ x2 − xy;
м) (х + у)х и (х — у)х − не являются тождественно равными, так как (х + у)х = x2 + xy, (х — у)х = x2 − xy, x2 + xy ≠ x2 − xy.
Доказываем (336 — 337).
336. Докажите тождество:
а) α — b = -(b — α);
б) (х — у)(х + у) = х2 — у2;
в) (α + b)(α + b) = α2 + 2αb + b2;
г) (α — b)(α — b) = α2 — 2αb + b2;
д) (m — n)(m2 + mn + n2) = m3 — n3;
е) (m + n)(m2 — mn + n2) = m3 + n3;
ж) (р + 1)(р + 1)(р + 1) = р3 + 3р2 + Зр + 1;
з) (q — 1)(q — 1)(q — 1) = q3 — Зq2 + Зq — 1.
а) α — b = -(b — α), так как -(b — α) = —b + α = α – b;
б) (х — у)(х + у) = х2 — у2, так как (х — у)(х + у) = x2 – xy + xy + y2 = x2 − y2;
в) (α + b)(α + b) = α2 + 2αb + b2, так как (α + b)(α + b) = α2 + αb + αb + b2 = α2 + 2αb + b2;
г) (α — b)(α — b) = α2 — 2αb + b2, так как (α — b)(α — b) = α2 — αb — αb + b2 = α2 — 2αb + b2;
д) (m — n)(m2 + mn + n2) = m3 — n3, так как (m — n)(m2 + mn + n2) = m3 + m2n + mn2 − m2n − mn2 − n3 = m3 − n3;
е) (m + n)(m2 — mn + n2) = m3 + n3, так как (m + n)(m2 — mn + n2) = m3 — m2n + mn2 + m2n − mn2 + n3 = m3 + n3;
ж) (р + 1)(р + 1)(р + 1) = р3 + 3р2 + Зр + 1, так как (р + 1)(р + 1)(р + 1) = (p2 + p + p + 1)(p + 1) = (p2 + 2p + 1)(p + 1) = p3 + 2p2 + p + p2 + 2p + 1 = p3 + 3p2 + 3p + 1;
з) (q — 1)(q — 1)(q — 1) = q3 — Зq2 + Зq – 1, так как (q — 1)(q — 1)(q — 1) = (q2 – q – q + 1)(q − 1) = (q2 − 2q + 1)(q − 1) = q3 − 2q2 + q − q2 + 2q – 1 = q3 − 3q2 + 3q – 1.
337. Докажите тождество:
а) α(b — с) + b(с — α) + с(α — b) = 0;
б) αb(c — d) — cd(α — b) — αc(b — d) — bd(с — α) = 0;
в) (m — n)(2m + 3n)(m — 7) + 7(2m2 + 2mn — Зn2) = m(2m2 + mn — Зn2 + 7n);
г) (α3b — b2)(α2 — 2b)(α — Зb) + 3α2b2(α3 — 2αb — b) + 2b2(α4 — αb + Зb2) = α3b(α3 — b);
д) (α2 — 4α + 4)(α2 + 4α + 4) — α2(α2 — 8) = 16;
е) (4α2 + 4α + 1)(4α2 — 4α + 1) — 8α2(2α2 — 1) = 1;
ж) (α — 1)(α + 1)(α2 + 1)(α4 + 1) — α8 = -1;
з) (α — 2)(α + 2)(α2 + 4)(α4 + 16) — α8 = -256.
а) Преобразуем левую часть: α(b — с) + b(с — α) + с(α — b) = αb − αc + bc − αb + αc − bc = 0 — левая и правая части тождества равны;
б) Преобразуем левую часть: αb(c — d) — cd(α — b) — αc(b — d) — bd(с — α) = αbc − αbd − αcd + bcd − αbc + αcd − bcd + αbd = 0 — левая и правая части тождества равны;
в) Преобразуем левую часть: (m — n)(2m + 3n)(m — 7) + 7(2m2 + 2mn — Зn2) = (2m2 − 2mn + 3mn − 3n2)(m − 7) + 14m2 + 14mn − 21n2 = (2m2 + mn − 3n2)(m − 7) + 14m2 + 14mn − 21n2 = 2m3 + m2n − 3mn2 − 14m2 − 7mn + 21n2 + 14m2 + 14mn − 21n2 = 2m3 + m2n − 3mn2 + 7mn
Преобразуем правую часть: m(2m2 + mn — Зn2 + 7n) = 2m3 + m2n − 3mn2 + 7mn
Левая и правая части тождества равны;
г) Преобразуем левую часть: (α3b — b2)(α2 — 2b)(α — Зb) + 3α2b2(α3 — 2αb — b) + 2b2(α4 — αb + Зb2) = (α5b − α2b2 − 2α3b2 + 2b3)(α − 3b) + 3α5b2 − 6α3b3 − 3α2b3 + 2α4b2 − 2αb3 + 6b4 = α6b − α3b2 − 2α4b2 + 2αb3 − 3α5b2 + 3α2b3 + 6α3b3 − 6b4 + 3α5b2 − 6α3b3 − 3α2b3 + 2α4b2 − 2αb3 + 6b4 = α6b − α3b2
Преобразуем правую часть: α3b(α3 — b) = α6b − α3b2
Левая и правая части тождества равны;
д) Преобразуем левую часть: (α2 — 4α + 4)(α2 + 4α + 4) — α2(α2 — 8) = α4 − 4α3 + 4α2 + 4α3 − 16α2 + 16α + 4α2 − 16α + 16 − α4 + 8α2 = 16 — левая и правая части тождества равны;
е) Преобразуем левую часть (4α2 + 4α + 1)(4α2 — 4α + 1) — 8α2(2α2 — 1) = 16α4 + 16α3 + 4α2 − 16α3 − 16α2 — 4α + 4α2 + 4α + 1 − 16α4 + 8α2 = 1 — левая и правая части тождества равны;
ж) Преобразуем левую часть: (α — 1)(α + 1)(α2 + 1)(α4 + 1) — α8 = (α2 – α + α − 1)(α6 + α4 + α2 + 1) − α8 = (α2 − 1)(α6 + α4 + α2 + 1) − α8 = α8 + α6 + α4 + α2 − α6 − α4 − α2 – 1 − α8 = -1 — левая и правая части тождества равны;
з) Преобразуем левую часть: (α — 2)(α + 2)(α2 + 4)(α4 + 16) — α8 = (α2 − 2α + 2α − 4)(α6 + 4α4 + 16α2 + 64) − α8 = (α2 − 4)(α6 + 4α4 + 16α2 + 64) − α8 = α8 + 4 α6 + 16α4 + 64α2 − 4α6 − 16α4 − 64α2 – 256 − α8 = −256 — левая и правая части тождества равны.
| ← Предыдущая | Следующая → |