Делимость натуральных чисел
Признаки делимости
Ответы к стр. 140
Доказываем
616. Докажите, что произведение чётного числа и любого натурального числа есть число чётное.
Так как чётное число делится на 2, то произведение его и любого натурального числа делится на 2 (по свойству 1: если один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число), то есть произведение — число чётное, что и требовалось доказать.
617. Докажите, что сумма двух чётных чисел является чётным числом.
Так как каждое из двух чисел делится на 2, то их сумма делится на 2 (по свойству 3: если каждое из двух чисел делится на некоторое число, то их сумма и разность делится на это число), то есть их сумма — число чётное, что и требовалось доказать.
618. Покажите, что нечётные числа 7, 9, 5, 13 можно записать в виде 2 • k + 1, где k — некоторое натуральное число.
7 = 2 • 3 + 1;
9 = 2 • 4 + 1;
5 = 2 • 2 + 1;
13 = 2 • 6 + 1.
Доказываем
619. Докажите, что сумма двух нечетных чисел является четным числом.
Представим нечетное число в виде: 2 • k + 1, где k — некоторое натуральное число (либо чётное, либо нечётное).
Сложим это число само с собой: (2 • k + 1) + (2 • k + 1) = 2 • k + 1 + 2 • k + 1 = 2 • k + 2 • k + 2 = 2 • (k + k + 1) = 2 • (2 • k + 1)
По свойству 1: если один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число — получается, что один из множителей произведения 2 • (2 • k + 1) делится на 2 (2 : 2 = 1), следовательно, сумма двух нечётных чисел делится на 2, что и требовалось доказать.
620. Определите, делится ли число 111 111 111 111 111:
а) на 3; б) на 9.
а) 1) 1 • 15 = 15 — сумма цифр числа 111 111 111 111 111;
2) 15 : 3 = 5 — значит число 111 111 111 111 111 делится на 3;
б) 1) 1 • 15 = 15 — сумма цифр числа 111 111 111 111 111;
2) 15 : 9 = 1 (ост. 6) — не делится на 9 нацело, значит число 111 111 111 111 111 не делится на 9.
621. Какую цифру нужно поставить вместо звездочки, чтобы полученное число делилось на 9:
а) 4∗; б) 5∗; в) 85∗; г) 738∗;
д) 6∗7; е) 7∗2; ж) 24∗0; з) 2090∗?
Разложим числа на разрядные слагаемые.
а) 4(0) + ∗ = 9
∗ = 9 – 4
∗ = 5
Ответ: 45
б) 5(0) + ∗ = 9
∗ = 9 – 5
∗ = 4
Ответ: 54
в) 8(00) + 5(0) + ∗ = 18
∗ = 18 − 8 – 5
∗ = 5
Ответ: 855
г) 7(000) + 3(00) + 8(0) + ∗ = 18
∗ = 18 − 7 − 3 – 8
∗ = 0
Ответ: 7380
д) 6(00) + ∗(0) + 7 = 18
∗ = 18 − 6 – 7
∗ = 5
Ответ: 657
е) 7(00) + ∗(0) + 2 = 9
∗ = 9 − 7 – 2
∗ = 0
Ответ: 702
ж) 2(000) + 4(00) + ∗(0) + 0 = 9
∗ = 9 − 2 – 4
∗ = 3
Ответ: 2430
з) 2(0000) + 0(000) + 9(00) + 0(0) + ∗ = 18
∗ = 18 − 2 – 9
∗ = 7
Ответ: 20907
622. Ученик выполнил сложение:
Учитель, не проверяя вычислений, определил, что в обоих примерах допущена ошибка. Как он обнаружил ошибку?
а) Все слагаемые в примере — чётные числа. Это значит, что их сумма — чётное число, а на доске в решении записано нечётное число.
б) Два слагаемых — чётные числа, это значит, что их сумма тоже чётное число. Если к чётному числу прибавить нечётное (третье слагаемое), то получится нечётное число, а на доске в решении записано чётное число.
623. Назовите наибольшее и наименьшее шестизначное число, которое делится на: а) 2; б) 3; в) 5; г) 9; д) 10.
а) наибольшее число: 999998, наименьшее число: 100000;
б) наибольшее число: 999999, наименьшее число: 100002;
в) наибольшее число: 999995, наименьшее число: 100000;
г) наибольшее число: 999999, наименьшее число: 100008;
д) наибольшее число: 999990, наименьшее число: 100000.
624. Саша купил в магазине 20 тетрадей, 2 альбома для рисования, авторучку за 6 р., несколько карандашей по 60 к. и несколько обложек для книг по 1 р. 20 к. Продавец сказал, что нужно заплатить в кассу 34 р. 25 к. Саша попросил пересчитать стоимость покупки, и ошибка была исправлена. Как он определил, что продавец ошибся в подсчётах?
Тетрадей и альбомов куплено чётное число, следовательно, независимо от цены (чётное или нечётное число) их стоимость будет чётным числом. Цена карандаша и обложки — чётное число, и, независимо от того, какое их количество купили (чётное или нечётное), их стоимость будет чётным числом. Поэтому и сумма стоимостей всех покупок должна быть чётным числом. А продавец сказал, что нужно уплатить нечётную сумму. Эту ошибку и определил Саша.
| ← Предыдущая | Следующая → |
Ответы по математике. 5 класс. Учебник. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В.