Делимость натуральных чисел
Наименьшее общее кратное
Ответы к стр. 151
687. Являются ли взаимно простыми числа:
а) 12 и 25; б) 40 и 39; в) 55 и 42;
г) 22 и 51; д) 48 и 49; е) 39 и 50;
ж) 17 и 48; з) 11 и 45; и) 13 и 50?
Найдите наименьшее общее кратное этих чисел.
а) 12¦2 25¦5
6¦2 5¦5
3¦3 1¦
1¦
Числа 12 и 25 не имеют общих простых делителей, а значит, являются взаимно простыми.
НОК (12, 25) = 52 • 22 • 3 = 300;
б) Числа 40 и 39 — соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми.
НОК (40, 39) = 40 • 39 = 1560;
в) 55¦5 42¦2
11¦11 21¦3
1¦ 7¦7
1¦
Числа 55 и 42 не имеют общих простых делителей, а значит, являются взаимно простыми.
НОК (55, 42) = 5 • 11 • 2 • 3 • 7 = 2310;
г) 22¦2 51¦3
11¦11 17¦17
1¦ 1¦
Числа 22 и 51 не имеют общих простых делителей, а значит, являются взаимно простыми.
НОК (22, 51) = 2 • 11 • 3 • 17 = 1122;
д) 48 и 49 — соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми.
НОК (48, 49) = 48 • 49 = 2352;
е) 39¦3 50¦2
13¦13 25¦5
1¦ 5¦5
1¦
Числа 39 и 50 не имеют общих простых делителей, а значит, являются взаимно простыми.
НОК (39, 50) = 3 • 13 • 2 • 52 = 1950;
ж) 17¦17 48¦2
1¦ 24¦2
12¦2
6¦2
3¦3
1¦
Числа 17 и 48 не имеют общих простых делителей, а значит, являются взаимно простыми.
НОК (17, 48) = 17 • 24 • 3 = 816;
з) 11¦11 45¦3
1¦ 15¦3
5¦5
1¦
Числа 11 и 45 не имеют общих простых делителей, а значит, являются взаимно простыми.
НОК (11, 45) = 11 • 32 • 5 = 495;
и) 13¦13 50¦2
1¦ 25¦5
5¦5
1¦
Числа 13 и 50 не имеют общих простых делителей, а значит, являются взаимно простыми.
НОК (13, 50) = 13 • 2 • 52 = 650.
688. Найдите:
а) НОК (4, 5); б) НОК (3, 11); в) НОК (7, 8);
г) НОК (9, 10); д) НОК (5, 13); е) НОК (17, 3);
ж) НОК (13, 11); з) НОК (10, 11); и) НОК (19, 20).
а) 4 и 5 — соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми, следовательно, НОК (4, 5) = 4 • 5 = 20;
б) 3 и 11 — простые числа, а два различных числа являются взаимно простыми, следовательно, НОК (3, 11) = 3 • 11 = 33;
в) 7 и 8 — соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми, следовательно, НОК (7, 8) = 7 • 8 = 56;
г) 9 и 10 — соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми, следовательно, НОК (9, 10) = 9 • 10 = 90;
д) 5 и 13 — простые числа, а два различных числа являются взаимно простыми, следовательно, НОК (5, 13) = 5 • 13 = 65;
е) 17 и 3 — простые числа, а два различных числа являются взаимно простыми, следовательно, НОК (17, 3) = 17 • 3 = 51;
ж) 13 и 11 — простые числа, а два различных числа являются взаимно простыми, следовательно, НОК (13, 11) = 13 • 11 = 143;
з) 10 и 11 — соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми, следовательно, НОК (10, 11) = 10 • 11 = 110;
и) 19 и 20 — соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми, следовательно, НОК (19, 20) = 19 • 20 = 380.
689. Напишите пять пар чисел α и b, чтобы НОК (α, b) = α.
1) α = 8, b = 4;
2) α = 32, b = 16;
3) α = 16, b = 4;
4) α = 45, b = 5;
5) α = 100, b = 10.
690. Найдите:
а) НОК (36, 48); б) НОК (49, 50); в) НОК (14, 15);
г) НОК (99, 100); д) НОК (28, 21); е) НОК (24, 23).
а) 36¦2 48¦2
18¦2 24¦2
9¦3 12¦2
3¦3 6¦2
1¦ 3¦3
1¦
36 = 22 • 32,
48 = 24 • 3,
НОК (36, 48) = 24 • 32 = 144;
б) 49 и 50 — соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми, следовательно, НОК (49, 50) = 49 • 50 = 2450;
в) 14 и 15 — соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми, следовательно, НОК (14, 15) = 14 • 15 = 210;
г) 99 и 100 — соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми, следовательно, НОК (99, 100) = 99 • 100 = 9900;
д) 28¦2 21¦3
14¦2 7¦7
7¦7 1¦
1¦
28 = 22 • 7,
21 = 3 • 7,
НОК (28, 21) = 22 • 7 • 3 = 84;
е) 23 и 24 — соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми, следовательно, НОК (24, 23) = 24 • 23 = 552.
691. Найдите:
а) НОК (19, 10); б) НОК (11, 110); в) НОК (26, 52);
г) НОК (11, 23); д) НОК (88, 66); е) НОК (198, 9).
а) 19¦19 10¦2
1¦ 5¦5
1¦
19 = 1 • 19,
10 = 1 • 2 • 5,
НОК (19, 10) = 19 • 2 • 5 = 190;
б) 110 = 11 • 10, НОК (11, 110) = 110;
в) 52 = 26 • 2, НОК (26, 52) = 52;
г) НОК (11, 23) = 11 • 23 = 253;
д) 88¦2 66¦2
44¦2 33¦3
22¦2 11¦11
11¦11 1¦
1¦
88 = 23 • 11,
66 = 2 • 3 • 11,
НОК (88, 66) = 23 • 11 • 3 = 264;
е) 198 = 9 • 22, НОК (198, 9) = 198.
692. Ученица нашла НОК (33, 198) и получила 99. Не проверяя вычислений, учитель определил, что была допущена ошибка. Как он это сделал?
Полученный результат должен делиться на оба числа, а 99 на 198 не делится, так как 99 < 198.
693. Объясните, почему наименьшее общее кратное двух чисел:
а) не может быть меньше любого из этих чисел;
б) делится на все делители этих чисел.
а) Если наименьшее общее кратное будет меньше одного из данных чисел, то оно не будет делиться на это число (нельзя разделить нацело меньшее число на большее), а значит, наименьшее общее кратное двух чисел не может быть меньше одного из этих чисел.
б) Наименьшее общее кратное делится на каждое из двух данных чисел, поэтому оно делится на все делители этих чисел.
694. Даны разложения чисел a и b на простые множители, найдите НОД (a, b) и НОК (a, b).
а) α = 23 • 34 • 5, б) α = 22 • 33 • 52,
b = 24 • 35 • 52; b = 32 • 53.
(Для решения задачи достаточно составить произведение и не вычислять его.)
а) α = 23 • 34 • 5 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 3 • 5,
b = 24 • 35 • 52 = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 5 • 5,
НОД (α, b) = 23 • 34 • 5 = α,
НОК (α, b) = 24 • 35 • 52 = b;
б) α = 22 • 33 • 52 = 2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 5 • 5,
b = 32 • 53 = 3 • 3 • 5 • 5 • 5,
НОД (α, b) = 32 • 52,
НОК (α, b) = 22 • 33 • 53.
695. Убедитесь, что НОД (36, 24) • НОК (36, 24) = 36 • 24. Выполняется ли это свойство для других пар чисел?
36¦2 24¦2
18¦2 12¦2
9¦3 6¦2
3¦3 3¦3
1¦ 1¦
36 = 2 • 2 • 3 • 3,
24 = 2 • 2 • 2 • 3,
НОД (36, 24) = 22 • 3 = 12,
НОК (36, 24) = 23 • 32 = 72,
НОД (36, 24) • НОК (36, 24) = 12 • 72 = 864 = 36 • 24.
Это условие выполняется для любой пары чисел.
Доказываем
696. Докажите, что НОД (α, b) • НОК (α, b) = α • b:
а) для взаимно простых чисел;
б) для любых чисел.
а) Пусть α и b — взимно простые числа, тогда: НОД (α, b) = 1, а НОК (α, b) = α • b.
НОД (α, b) • НОК (α, b) = 1 • α • b = α • b — что и требовалось доказать.
б) Пусть α и b — натуральные числа, тогда: НОД (α, b) = n, а НОК (α, b) = m.
α = α1 • n (где α1 — натуральное число);
b = b1 • n (где b1 — натуральное число);
m = α1 • b1 • n;
НОД (α, b) • НОК (α, b) = n • m = n • α1 • b1 • n = (α1 • n) • (b1 • n) = α • b — что и требовалось доказать.
| ← Предыдущая | Следующая → |
Ответы по математике. 5 класс. Учебник. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В.