Обыкновенные дроби
Сравнение дробей
Ответы к стр. 183
Доказываем
813. Докажите, что из двух дробей с равными числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше.
Пусть m < n, где m и n — натуральные числа. Докажем, что 1⁄m > 1⁄n.
Приведем дроби к общему знаменателю: 1⁄m = 1•n⁄m•n = n⁄mn, 1⁄n = 1•m⁄n•m = m⁄mn.
Из двух дробей n⁄mn и m⁄mn с общим знаменателем больше та дробь, у которой числитель больше. Так как m < n, то: n⁄mn > m⁄mn, тогда: 1⁄m > 1⁄n — что и требовалось доказать.
814. Сравните дроби с числом 1, а затем между собой:
а) 1⁄2 и 6⁄5; б) 6⁄7 и 7⁄6; в) 2⁄5 и 5⁄2; г) 3⁄5 и 7⁄3;
д) 17⁄13 и 7⁄8; е) 8⁄7 и 8⁄9; ж) 78⁄77 и 77⁄78; з) 89⁄90 и 90⁄89.
а) 1⁄2 < 1, 6⁄5 > 1 ⇒ 1⁄2 < 6⁄5;
б) 6⁄7 < 1, 7⁄6 > 1 ⇒ 6⁄7 < 7⁄6;
в) 2⁄5 < 1, 5⁄2 > 1 ⇒ 2⁄5 < 5⁄2;
г) 3⁄5 < 1, 7⁄3 > 1 ⇒ 3⁄5 < 7⁄3;
д) 17⁄13 > 1, 7⁄8 < 1 ⇒ 17⁄13 > 7⁄8;
е) 8⁄7 > 1, 8⁄9 < 1 ⇒ 8⁄7 > 8⁄9;
ж) 78⁄77 > 1, 77⁄78 < 1 ⇒ 78⁄77 > 77⁄78;
з) 89⁄90 < 1, 90⁄89 > 1 ⇒ 89⁄90 < 90⁄89.
815. Сравните дроби с числом 1⁄2, а затем между собой:
а) 1⁄3 и 3⁄4; б) 1⁄4 и 5⁄6; в) 2⁄5 и 5⁄8;
г) 4⁄5 и 3⁄7; д) 7⁄13 и 8⁄17; е) 8⁄17 и 10⁄19.
а) НОК (2, 3) = 6
1⁄2 = 1•3⁄2•3 = 3⁄6
1⁄3 = 1•2⁄3•2 = 2⁄6
3⁄6 > 2⁄6, следовательно, 1⁄2 > 1⁄3
НОК (2, 4) = 4
1⁄2 = 1•2⁄2•2 = 2⁄4
2⁄4 < 3⁄4, следовательно, 1⁄2 < 3⁄4, тогда: 1⁄3 < 3⁄4
б) НОК (2, 4) = 4
1⁄2 = 1•2⁄2•2 = 2⁄4
2⁄4 > 1⁄4, следовательно, 1⁄2 > 1⁄4
НОК (2, 6) = 6
1⁄2 = 1•3⁄2•3 = 3⁄6
3⁄6 < 5⁄6, следовательно, 1⁄2 < 5⁄6, тогда:
1⁄4 < 5⁄6
в) НОК (2, 5) = 10
1⁄2 = 1•5⁄2•5 = 5⁄10
2⁄5 = 2•2⁄5•2 = 4⁄10
5⁄10 > 4⁄10, следовательно, 1⁄2 > 2⁄5
НОК (2, 8) = 8
1⁄2 = 1•4⁄2•4 = 4⁄8
4⁄8 < 5⁄8, следовательно, 1⁄2 < 5⁄8, тогда:
2⁄5 < 5⁄8
г) НОК (4 ,5) = 10
1⁄2 = 1•5⁄2•5 = 5⁄10
4⁄5 = 4•2⁄5•2 = 8⁄10
5⁄10 < 8⁄10, следовательно, 1⁄2 < 4⁄5
НОК (2, 7) = 14
1⁄2 = 1•7⁄2•7 = 7⁄14
3⁄7 = 3•2⁄7•2 = 6⁄14
7⁄14 > 6⁄14, следовательно, 1⁄2 > 3⁄7, тогда:
4⁄5 > 3⁄7
д) НОК (2, 13) = 26
1⁄2 = 1•13⁄2•13 = 13⁄26
7⁄13 = 7•2⁄13•2 = 14⁄26
13⁄26 < 14⁄26, следовательно, 1⁄2 < 7⁄13
НОК (2, 17) = 34
1⁄2 = 1•17⁄2•17 = 17⁄34
8⁄17 = 8•2⁄17•2 = 16⁄34
17⁄34 > 16⁄34, следовательно, 1⁄2 > 8⁄17, тогда:
7⁄13 > 8⁄17
е) НОК (2, 17) = 34
1⁄2 = 1•17⁄2•17 = 17⁄34
8⁄17 = 8•2⁄17•2 = 16⁄34
17⁄34 > 16⁄34, следовательно, 1⁄2 > 8⁄17
НОК (2, 19) = 38
1⁄2 = 1•19⁄2•19 = 19⁄38
10⁄19 = 10•2⁄19•2 = 20⁄38
19⁄38 < 20⁄38, следовательно, 1⁄2 < 10⁄19, тогда:
8⁄17 < 10⁄19.
816. В некоторых случаях бывает удобно сравнивать не сами дроби, а их «дополнения» до единицы. Например, сравним дроби 7⁄8 и 8⁄9. Чтобы из первой дроби получить 1, надо добавить 1⁄8, а чтобы из второй дроби получить 1, надо добавить меньше: 1⁄9. Следовательно, вторая дробь больше: 7⁄8 < 8⁄9.
Сравните дроби:
а) 8⁄9 и 9⁄10; б) 11⁄12 и 12⁄13;
в) 41⁄42 и 42⁄43; г) 39⁄40 и 38⁄39;
д) 98⁄99 и 97⁄98; е) 1995⁄1996 и 1996⁄1997.
а) Чтобы из первой дроби получить 1, надо добавить 1⁄9, а чтобы из второй дроби получить 1, надо добавить 1⁄10. Следовательно, вторая дробь больше: 8⁄9 < 9⁄10.
б) Чтобы из первой дроби получить 1, надо добавить 1⁄12, а чтобы из второй дроби получить 1, надо добавить 1⁄13. Следовательно, вторая дробь больше: 11⁄12 < 12⁄13.
в) Чтобы из первой дроби получить 1, надо добавить 1⁄42, а чтобы из второй дроби получить 1, надо добавить 1⁄43. Следовательно, вторая дробь больше: 41⁄42 < 42⁄43.
г) Чтобы из первой дроби получить 1, надо добавить 1⁄40, а чтобы из второй дроби получить 1, надо добавить 1⁄39. Следовательно, первая дробь больше: 39⁄40 > 38⁄39.
д) Чтобы из первой дроби получить 1, надо добавить 1⁄99, а чтобы из второй дроби получить 1, надо добавить 1⁄98. Следовательно, первая дробь больше: 98⁄99 > 97⁄98.
е) Чтобы из первой дроби получить 1, надо добавить 1⁄1996, а чтобы из второй дроби получить 1, надо добавить 1⁄1997. Следовательно, вторая дробь больше: 1995⁄1996 > 1996⁄1997.
817. а) Алеша с папой стреляли в тире. Алеша из 10 выстрелов имел 5 попаданий, а папа из 5 выстрелов имел 3 попадания. Чей результат лучше?
б) Саша и Коля играли в баскетбол. Саша из 10 бросков имел 6 попаданий в кольцо, а Коля из 8 бросков имел 5 попаданий. Чей результат лучше?
а) 5⁄10 выстрелов — попал Алеша
3⁄5 выстрелов — попал папа
НОК (10, 5) = 10
3⁄5 = 3•2⁄5•2 = 6⁄10
5⁄10 < 6⁄10, следовательно, 5⁄10 < 3⁄5 — значит результат папы лучше
О т в е т: результат папы лучше.
б) 6⁄10 бросков — попал Саша
5⁄8 бросков — попал Коля
НОК (10, 8) = 40
6⁄10 = 6•4⁄10•4 = 24⁄40
5⁄8 = 5•5⁄8•5 = 25⁄40
24⁄40 < 25⁄40, следовательно, 6⁄10 < 5⁄8 — значит результат Коли лучше
О т в е т: результат Коли лучше.
| ← Предыдущая | Следующая → |
Ответы по математике. 5 класс. Учебник. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В.