Алгебраические выражения
Формулы сокращённого умножения
Разность кубов
Ответы к стр. 112
406. Является ли выражение полным или неполным квадратом суммы:
а) х2 + х + 1; б) 4 + 4х + х2; в) α2 + 6αb + 9b2;
г) 100 + 10x + х2; д) 1/4 m2 + 1/2 m + 1; е) 4р + 1 + 4р2;
ж) 0,25m2 + mn + n2; з) 4р2 + 1/16 q2 + pq?
а) х2 + х + 1 − неполный квадрат суммы;
б) 4 + 4х + х2 = (2 + x)2 − полный квадрат суммы;
в) α2 + 6αb + 9b2 = (α + 3b)2 − полный квадрат суммы;
г) 100 + 10x + х2 = 102 + 10x + x2 − неполный квадрат суммы;
д) 1/4 m2 + 1/2 m + 1 = (1/2 m)2 + 1/2 m + 1 − неполный квадрат суммы;
е) 4р + 1 + 4р2 = 1 + 4p + 4p2 = (1 + 2p)2 − полный квадрат суммы;
ж) 0,25m2 + mn + n2 = (0,5m + n)2 − полный квадрат суммы;
з) 4р2 + 1/16 q2 + pq = 4p2 + pq + 1/16 q2 = (2p + 1/4 q)2 − полный квадрат суммы.
407. Запишите выражение в виде многочлена:
а) (х — у)(х2 + ху + у2);
б) (5 — α)(α2 + 5α + 25);
в) (2m — 5n)(4m2 + 10mn + 25n2);
г) (7р + q)(49р2 — 7pq + q2);
д) (1/2 x — 1/3 y)(1/4 x2 + 1/6 xy + 1/9 y2);
е) (0,1α — 0,2b)(0,04b2 + 0,02αb + 0,01α2).
а) (х — у)(х2 + ху + у2) = x3 − y3;
б) (5 — α)(α2 + 5α + 25) = 53 − α3 = 125 − α3;
в) (2m — 5n)(4m2 + 10mn + 25n2) = (2m)3 − (5n)3 = 8m3 − 125n3;
г) (7р + q)(49р2 — 7pq + q2) = (7p)3 + q3 = 343p3 + q3;
д) (1/2 x — 1/3 y)(1/4 x2 + 1/6 xy + 1/9 y2) = (1/2 x)3 − (1/3 y)3 = 1/8 x3 – 1/27 y3;
е) (0,1α — 0,2b)(0,04b2 + 0,02αb + 0,01α2) = (0,1α)3 − (0,2b)3 = 0,001α3 − 0,008b3.
408. Упростите выражение:
а) (3р — 10q)(100q2 + 30pq + 9р2);
б) (7m + 2n)(4n2 — 14mn + 49m2);
в) (αb — 3)(α2b2 + 3αb + 9);
г) (km — n2)(k2m2 + kmn2 + n4);
д) (4y2 — ху + 1/4 х2)(1/2 х + 2у);
е) (1,21q2 + 0,22pq + 0,04р2)(0,2р — 1,1q);
ж) (1/9 m4 + m2nk + 9n2k2)(1/3 m2 — 3nk);
з) (11/2 α3 — 0,5b2)(21/3 α6 + 3/4 α3b2 + 0,26b4).
а) (3р — 10q)(100q2 + 30pq + 9р2) = (3p − 10q)(9p2 + 30pq + 100q2) = (3p)3 − (10q)3 = 27p3 − 1000q3;
б) (7m + 2n)(4n2 — 14mn + 49m2) = (2n + 7m)(4n2 − 14mn + 49m2) = (2n)3 + (7m)3 = 8n3 + 343m3;
в) (αb — 3)(α2b2 + 3αb + 9) = (αb)3 – 33 = α3b3 – 27;
г) (km — n2)(k2m2 + kmn2 + n4) = (km)3 − (n2)3 = k3m3 − n6;
д) (4y2 — ху + 1/4 х2)(1/2 х + 2у) = (2y + 1/2 x)(4y2 – xy + 1/4 x2) = (2y)3 + (1/2 x)3 = 8y3 + 1/8 x3;
е) (1,21q2 + 0,22pq + 0,04р2)(0,2р — 1,1q) = (0,2p − 1,1q)(0,04p2 + 0,22pq + 1,21q2) = (0,2p)3 − (1,1q)3 = 0,008p3 − 1,331q3;
ж) (1/9 m4 + m2nk + 9n2k2)(1/3 m2 — 3nk) = (1/3 m2)3 − (3nk)3 = 1/27 m6 − 27n3k3;
з) (11/2 α3 — 0,5b2)(21/3 α6 + 3/4 α3b2 + 0,26b4) = (3/2 α3)3 − (0,5b2)3 = 27/8 α9 − 0,125b6 = 33/8 α9 − 0,125b6.
409. Разложите двучлен на множители:
а) m3 — 1; б) p3 — 27q3; в) 125x3 — 8y3;
г) 64α3 + 1000b3; д) x6 — y6; е) m12 — 64;
ж) x9 — x6; з) c6d3 — k3.
а) m3 – 1 = m3 — 13 = (m − 1)(m2 + m + 1);
б) p3 — 27q3 = p3 − (3q)3 = (p − 3q)(p2 + 3pq + (3q)2) = (p − 3q)(p2 + 3pq + 9q2);
в) 125x3 — 8y3 = (5x)3 − (2y)3 = (5x − 2y)((5x)2 + 5x•2y + (2y)2) = (5x − 2y)(25x2 + 10xy + 4y2);
г) 64α3 + 1000b3 = (4α)3 + (10b)3 = (4α + 10b)((4α)2 − 4α•10b + (10b)2) = (4α + 10b)(16α2 − 40αb + 100b2);
д) x6 — y6 = (x2)3 − (y2)3 = (x − y)((x2)2 + x2y2 + (y2)2) = (x2 − y2)(x4 + x2y2 + y4);
е) m12 – 64 = (m4)3 – 43 = (m4 − 4)((m4)2 + 4m4 + 42) = (m4 − 4)(m8 + 4m4 + 16);
ж) x9 — x6 = (x3)3 − (x2)3 = (x3 − x2)((x3)2 + x3•x2 + (x2)2) = (x3 − x2)(x6 + x5 + x4) = x2(x − 1)x4(x2 + x + 1) = x6(x − 1)(x2 + x + 1);
з) c6d3 — k3 = (c2d)3 − k3 = (c2d − k)((c2d)2 + c2dk + k2) = (c2d − k)(c4d2 + c2dk + k2).
410. Подберите одночлены А, В и С так, чтобы выполнялось равенство:
а) х3 + А = (х + В)(х2 — 4х + 16);
б) А — 8с6 = (Зα — В) (С + 6αс2 + 4с4);
в) В — 125m9 = (А — 5m3)(α2 + 5αm3 + 25m6);
г) 64m9 + А = (4m3 + С) (16m6 — В + 4α8).
а) х3 + А = (х + В)(х2 — 4х + 16)
B2 = 16 A = B3 = 43 = 64
B2 = 42
B = 4
б) А — 8с6 = (Зα — В) (С + 6αс2 + 4с4)
B2 = 4c4 A = (3α)3 = 27α3
B2 = (2c2)2
B = 2c2 C = (3α)2 = 9α2
в) В — 125m9 = (А — 5m3)(α2 + 5αm3 + 25m6)
A2 = α2 B = A3 = α3
A = α
г) 64m9 + А = (4m3 + С) (16m6 — В + 4α8)
C2 = 4α8 A = C3 = (2α4)3 = 8α12
C2 = (2α4)2
C = 2α4 B = 4m3•C = 4m3•2α4 = 8α4m3
411. Упростите выражение:
а) (х — 1)(х2 + х + 1) — (1 + х)(1 — х + х2);
б) (α2 — 3)(α4 + Зα2 + 9) + α4(1 — α)(1 + α);
в) 2р2(2 — р)(р2 + 2р + 4) — 4(р — 5)(5 + р);
г) n5(2 + n2)(n2 — 2) — (m — n3)(m2 + mn3 + n6).
а) (х — 1)(х2 + х + 1) — (1 + х)(1 — х + х2) = x3 – 1 − (1 + x3) = x3 – 1 – 1 − x3 = −2;
б) (α2 — 3)(α4 + Зα2 + 9) + α4(1 — α)(1 + α) = (α2)3 – 33 + α4(1 − α2) = α6 – 27 + α4 − α6 = α4 − 27;
в) 2р2(2 — р)(р2 + 2р + 4) — 4(р — 5)(5 + р) = 2p2(2 − p)(4 + 2p + p2) − 4(p − 5)(p + 5) = 2p2(23 − p3) − 4(p2 − 52) = 2p2(8 − p3) − 4(p2 − 25) = 16p2 − 2p5 − 4p2 + 100 = −2p5 + 12p2 + 100;
г) n5(2 + n2)(n2 — 2) — (m — n3)(m2 + mn3 + n6) = n5(n2 + 2)(n2 − 2) − (m3 − (n3)3) = n5(n4 − 4) − (m3 − n9) = n9 − 4n5 − m3 + n9 = 2n9 − 4n5 − m3.
| ← Предыдущая | Следующая → |