Алгебраические выражения
Формулы сокращённого умножения
Разложение многочлена на множители
Ответы к стр. 123
467. Придумайте примеры на применение формул сокращенного умножения при вычислениях.
1) 62 – 22 = (6 – 2)(6 + 2) = 4•8 = 32;
2) 292 + 2•29 + 1 = (29 + 1)2 = 302 = 900;
3) 382 – 2•38•8 + 64 = (38 – 8)2 = 302 = 900.
468. Преобразуйте данное целое выражение в произведение многочленов:
а) (2m + n)(6m + 2n) — (m — Зn) (8n + 16m);
б) (х — 1)(4х — 6у) + (х + 1)(18y — 12х);
в) (2α + 1)(5α — 15) + (30 — 10α)(α — 2);
г) 2α(α + 2)2 — 3b(α + 2);
д) (х — 2)2(х — 3) + (х — 2)(х — З)2;
е) 3m(m + 2n) — 2n(m + 2n)2;
ж) (р + 3q)2(p — q) — (р + 3q)(p — q)2.
а) (2m + n)(6m + 2n) — (m — Зn) (8n + 16m) = 2(2m + n)(3m + n) − 8(m − 3n)(n + 2m) = 2(2m + n)(3m + n) − 8(m − 3n)(2m + n) = 2(2m + n)(3m + n − 4(m − 3n)) = 2(2m + n)(3m + n − 4m + 12n) = 2(2m + n)(13n − m);
б) (х — 1)(4х — 6у) + (х + 1)(18y — 12х) = 2(x − 1)(2x − 3y) + 6(x + 1)(3y − 2x) = 2(x − 1)(2x − 3y) − 6(x + 1)(2x − 3y) = 2(2x − 3y)(x − 1 − 3(x + 1)) = 2(2x − 3y)(x − 1 − 3x − 3) = 2(2x − 3y)(−2x − 4) = −4(2x − 3y)(x + 2);
в) 2α(α + 2)2 — 3b(α + 2) = 5(2α + 1)(α − 3) + 10(3 − α)(α − 2) = 5(2α + 1)(α − 3) − 10(α − 3)(α − 2) = 5(α − 3)(2α + 1 − 2(α − 2)) = 5(α − 3)(2α + 1 − 2α + 4) = 5(α − 3)•5 = 25(α − 3);
г) 2α(α + 2)2 — 3b(α + 2) = (α + 2)(2α(α + 2) − 3b) = (α + 2)(2α2 + 4α − 3b);
д) (х — 2)2(х — 3) + (х — 2)(х — З)2 = (x − 2)(x − 3)((x – 2) + (x – 3)) = (x − 2)(x − 3)(x – 2 + x – 3) = (x − 2)(x − 3)(2x − 5);
е) 3m(m + 2n) — 2n(m + 2n)2 = (m + 2n)(3m − 2n(m + 2n)) = (m + 2n)(3m − 2mn − 4n2);
ж) (р + 3q)2(p — q) — (р + 3q)(p — q)2 = (p + 3q)(p − q)(p + 3q − (p − q)) = (p + 3q)(p − q)(p + 3q – p + q) = (p + 3q)(p − q)4q = 4q(p + 3q)(p − q).
469. Разложите выражение на множители, используя формулы сокращённого умножения:
а) (α + b)2 — с2; б) (α — b)2 — с2;
в) (х — у)2 — (х + у)2; г) (α + b)2 — (х + у)2;
д) (2х — у)2 — (Зх — 2у)2; е) (m2 — 4n)2 — (m2 — 2n)2;
ж) (α + b)2 + 2(α + b) + 1; з) (х — 2у)2 + 4(х — 2у) + 4;
и) 9α2 — 6α(α + 1) + (α + 1)2; к) 16m2 — 8m(3 — m) + (3 — m)2.
а) (α + b)2 — с2 = (α + b − c)(α + b + c);
б) (α — b)2 — с2 = (α – b − c)(α – b + c);
в) (х — у)2 — (х + у)2 = (x – y − (x + y))(x – y + x + y) = (x – y – x − y)(x – y + x + y) = −2y∗2x = −4xy;
г) (α + b)2 — (х + у)2 = (α + b − (x + y))(α + b + (x + y)) = (α + b – x − y)(α + b + x + y);
д) (2х — у)2 — (Зх — 2у)2 = (2x – y − (3x − 2y))(2x – y + 3x − 2y) = (2x – y − 3x + 2y)(5x − 3y) = (y − x)(5x − 3y);
е) (m2 — 4n)2 — (m2 — 2n)2 = (m2 − 4n − (m2 − 2n))(m2 − 4n + m2 − 2n) = (m2 − 4n − m2 + 2n)(2m2 − 6n) = −4n(m2 − 3n);
ж) (α + b)2 + 2(α + b) + 1 = (α + b + 1)2;
з) (х — 2у)2 + 4(х — 2у) + 4 = (x − 2y + 2)2;
и) 9α2 — 6α(α + 1) + (α + 1)2 = (3α − (α + 1))2 = (3α – α − 1)2 = (2α − 1)2;
к) 16m2 — 8m(3 — m) + (3 — m)2 = (4m − (3 − m))2 = (4m – 3 + m)2 = (5m − 3)2.
Представьте целое выражение в виде произведения многочленов (470-471):
470. а) 2α + 2b + αх + bх; б) αx – αy + 3x — 3y;
в) m2 — mn + αm — αn; г) 5α + 5b – αx — bx;
д) αх — уα + х — у; е) m2 – mn — 2n + 2m;
ж) α3 + 5α2 + 5α + 25; з) x4 — 3x3 + 3x2 — 9x.
а) 2α + 2b + αх + bх = (2α + 2b) + (αx + bx) = 2(α + b) + x(α + b) = (α + b)(2 + x);
б) αx – αy + 3x — 3y = (αx − αy) + (3x − 3y) = α(x − y) + 3(x − y) = (x − y)(α + 3);
в) m2 — mn + αm — αn = (m2 − mn) + (αm − αn) = m(m − n) + α(m − n) = (m − n)(m + α);
г) 5α + 5b – αx — bx = (5α + 5b) − (αx + bx) = 5(α + b) − x(α + b) = (α + b)(5 − x);
д) αх — уα + х — у = (αx − yα) + (x − y) = α(x − y) + (x − y) = (x − y)(α + 1);
е) m2 – mn — 2n + 2m = (m2 − mn) − (2n − 2m) = m(m − n) + 2(m − n) = (m − n)(m + 2);
ж) α3 + 5α2 + 5α + 25 = (α3 + 5α2) + (5α + 25) = α2(α + 5) + 5(α + 5) = (α + 5)(α2 + 5);
з) x4 — 3x3 + 3x2 — 9x = (x4 − 3x3) + (3x2 − 9x) = x3(x − 3) + 3x(x − 3) = (x − 3)(x3 + 3x) = x(x − 3)(x2 + 3).
471. а) 86x — 43у + 2αx — αу; б) 10by — 25bx — 6αy + 15αx;
в) х2 + ху — xz — yz; г) m4 + 2 – m — 2m3;
д) 5α2 — 5αb + 5b2 — 5αb; е) y — y2 — y3 + y4;
ж) b3 + b2c — b2d — bcd; з) x2y — z2x — y2x — yz2.
а) 86x — 43у + 2αx — αу = (86x − 43y) + (2αx − αy) = 43(2x − y) + α(2x − y) = (2x − y)(43 + α);
б) 10by − 25bx − 6αy + 15αx = (10by − 25bx) − (6αy − 15αx) = 5b(2y − 5x) − 3α(2y − 5x) = (2y − 5x)(5b − 3α);
в) х2 + ху — xz — yz = (x2 + xy) − (xz + yz) = x(x + y) − z(x + y) = (x + y)(x − z);
г) m4 + 2 – m — 2m3 = (m4 − 2m3) + (2 − m) = m3(m − 2) − (m − 2) = (m − 2)(m3 − 1) = (m − 2)(m − 1)(m2 + m + 1);
д) 5α2 — 5αb + 5b2 — 5αb = (5α2 − 5αb) + (5b2 − 5αb) = 5α(α − b) + 5b(b − α) = 5α(α − b) − 5b(α − b) = (α − b)(5α − 5b) = 5(α − b)(α − b) = 5(α − b)2;
е) y — y2 — y3 + y4 = (y − y2) − (y3 − y4) = y(1 − y) − y3(1 − y) = (1 − y)(y − y3) = y(1 − y)(1 − y2) = y(1 − y)(1 − y)(1 + y) = y(1 − y)2(1 + y);
ж) b3 + b2c — b2d — bcd = (b3 + b2c) − (b2d + bcd) = b2(b + c) − bd(b + c) = (b + c)(b2 − bd) = b(b + c)(b − d);
з) x2y — z2x — y2x — yz2 = (x2y + y2x) − (z2x + yz2) = xy(x + y) − z2(x + y) = (x + y)(xy − z2).
472. Разложите многочлен на множители, предварительно представив один из его членов в виде суммы:
а) x2 — 3x + 2; б) α2 — 5α + 4; в) α2 — 6α + 5;
г) x2 — 3x — 4; д) m2 — 3mn + 2n2; е) m2 — 7mn + 6n2.
а) x2 — 3x + 2 = x2 – x − 2x + 2 = x(x − 1) − 2(x − 1) = (x − 1)(x − 2);
б) α2 — 5α + 4 = α2 – α − 4α + 4 = (α2 − α) − (4α − 4) = α(α − 1) − 4(α − 1) = (α − 1)(α − 4);
в) α2 — 6α + 5 = α2 – α − 5α + 5 = (α2 − α) − (5α − 5) = α(α − 1) − 5(α − 1) = (α − 1)(α − 5);
г) x2 — 3x – 4 = x2 + x − 4x – 4 = (x2 + x) − (4x + 4) = x(x + 1) − 4(x + 1) = (x + 1)(x − 4);
д) m2 — 3mn + 2n2 = m2 – mn − 2mn + 2n2 = m(m − n) − 2n(m − n) = (m − n)(m − 2n);
е) m2 — 7mn + 6n2 = m2 – mn − 6mn + 6n2 = m(m − n) − 6n(m − n) = (m − n)(m − 6n).
473. Разложите многочлен на множители, предварительно выделив полный квадрат:
а) α2 + 8α + 15; б) x2 + 4b4; в) x2 — 2xy — 3y2;
г) m2 + 7m + 10; д) p2 — 5p + 6; е) 3m2 + 27m + 54;
ж) x2 + x — 12; з) α2 + 6α + 8; и) x2 – x — 12.
а) α2 + 8α + 15 = (α2 + 8α + 16) – 1 = (α + 4)2 – 1 = (α + 4 − 1)(α + 4 + 1) = (α + 3)(α + 5);
б) x2 + 4b4 = (x4 + 4x2b2 + 4b4) − 4x2b2 = (x2 + 2b2)2 − 4x2b2 = (x2 + 2b2)2 − (2xb)2 = (x2 + 2b2 − 2xb)(x2 + 2b2 + 2xb);
в) x2 — 2xy — 3y2 = (x2 − 2xy + y2) − 4y2 = (x − y)2 − 4y2 = (x − y)2 − (2y)2 = (x – y − 2y)(x – y + 2y) = (x − 3y)(x + y);
г) m2 + 7m + 10 = (m2 + 4m + 4) + 3m + 6 = (m + 2)2 + 3(m + 2) = (m + 2)(m + 2 + 3) = (m + 2)(m + 5);
д) p2 — 5p + 6 = (p2 − 4p + 4) – p + 2 = (p − 2)2 − (p − 2) = (p − 2)(p – 2 − 1) = (p − 2)(p − 3);
е) 3m2 + 27m + 54 = 3(m2 + 9m + 18) = 3((m2 + 6m + 9) + 3m + 9) = 3((m + 3)2 + 3(m + 3)) = 3(m + 3)(m + 3 + 3) = 3(m + 3)(m + 6);
ж) x2 + x – 12 = (x2 + x + 0,25) − 12,25 = (x + 0,5)2 − 3,52 = (x + 0,5 − 3,5)(x + 0,5 + 3,5) = (x − 3)(x + 4);
з) α2 + 6α + 8 = (α2 + 6α + 9) – 1 = (α + 3)2 – 12 = (α + 3 − 1)(α + 3 + 1) = (α + 2)(α + 4);
и) x2 – x – 12 = (x2 – x + 0,25) − 12,25 = (x − 0,5)2 − 3,52 = (x − 0,5 − 3,5)(x − 0,5 + 3,5) = (x − 4)(x + 3).
474. Верно ли выполнено разложение многочлена на множители:
а) α3 — 8 + 6α2 — 12α = (α2 + 8α + 4)(α — 2);
б) x2 + 2ху + у2 — хс — ус = (х + у — с)(х + у)?
а) α3 — 8 + 6α2 — 12α = (α3 − 8) + (6α2 − 12α) = (α − 2)(α2 + 2α + 4) + 6α(α − 2) = (α2 + 2α + 4 + 6α)(α − 2) = (α2 + 8α + 4)(α − 2) – верно;
б) x2 + 2ху + у2 — хс — ус = (x2 + 2xy + y2) − (xc + yc) = (x + y)2 − c(x + y) = (x + y − c)(x + y) – верно.
475. Разложите на множители многочлен:
a) αb + cb + αd + cd; б) α2 — 2αb + b2 — с2;
в) α4 — 16b4; г) α2 + 2αb + αс + b2 + bс;
д) 9у2 — 6у + 1 — х2; е) х4 + 4x2 — у2 + 6у — 5.
а) αb + cb + αd + cd = (αb + cb) + (αd + cd) = b(α + c) + d(α + c) = (α + c)(b + d);
б) α2 — 2αb + b2 — с2 = (α2 − 2αb + b2) − c2 = (α − b)2 − c2 = (α – b − c)(α – b + c);
в) α4 — 16b4 = (α2)2 − (4b2)2 = (α2 − 4b2)(α2 + 4b2) = (α − 2b)(α + 2b)(α2 + 4b2);
г) α2 + 2αb + αс + b2 + bс = (α2 + 2αb + b2) + (αc + bc) = (α + b)2 + c(α + b) = (α + b)(α + b + c);
д) 9у2 — 6у + 1 — х2 = (9y2 − 6y + 1) − x2 = (3y − 1)2 − x2 = (3y – 1 − x)(3y – 1 + x);
е) х4 + 4x2 — у2 + 6у – 5 = (x4 + 4x2 + 4) − (y2 − 6y + 9) = (x2 + 2)2 − (y − 3)2 = (x2 + 2 – y + 3)(x2 + 2 + y − 3) = (x2 – y + 5)(x2 + y − 1).
| ← Предыдущая | Следующая → |