Алгебраические выражения
Формулы сокращённого умножения
Разложение многочлена на множители
Ответы к стр. 124
476. Задача Софии Жермен. Докажите, что при любых натуральных α ≠ 1 каждое число вида α4 + 4 является составным числом.
α4 + 4 = (α4 + 4α2 + 4) − 4α2 = (α2 + 2)2 − (2α)2 = (α2 + 2 − 2α)(α2 + 2 + 2α) = (α2 − 2α + 2)(α2 + 2α +2 ) – оба полученных множителя больше единицы, следовательно, полученное число является составным, так как имеет более двух делителей.
Разложите многочлен на множители (477-479):
477. а) x4 — 3x2 + 2; б) b2c2 — 4bc — b2 — c2 + 1;
в) y2 — 10y + 25 — 4x2; г) (α + b)3 — α3 — b3;
д) x16 — y16; е) x4 — 3x2 + 1;
ж) x4 — 8x2 + 4; з) x4 — 7x2 + 1;
и) x4 + 12x2 + 64; к) x4 + x2 — 2.
а) x4 — 3x2 + 2 = x4 − x2 − 2x2 + 2 = (x4 − x2) − (2x2 − 2) = x2(x2 − 1) − 2(x2 − 1) = (x2 − 1)(x2 − 2) = (x − 1)(x + 1)(x2 − 2);
б) b2c2 — 4bc — b2 — c2 + 1 = b2c2 − 2bc + 1 − b2 − c2 − 2bc = (b2c2 − 2bc + 1) − (b2 + 2bc + c2) = (bc − 1)2 − (b + c)2 = (bc – 1 − (b + c))(bc – 1 + b + c) = (bc – 1 – b − c)(bc – 1 + b + c);
в) y2 — 10y + 25 — 4x2 = (y2 − 10y + 25) − 4x2 = (y − 5)2 − (2x)2 = (y – 5 − 2x)(y – 5 + 2x);
г) (α + b)3 — α3 — b3 = (α + b)3 − (α3 + b3) = (α + b)(α + b)2 − (α + b)(α2 – αb + b2) = (α + b)(α2 + 2αb + b2 − α2 + αb − b2) = 3αb(α + b);
д) x16 — y16 = (x8 − y8)(x8 + y8) = (x4 − y4)(x4 + y4)(x8 + y8) = (x2 − y2)(x2 + y2)(x4 + y4)(x8 + y8) = (x − y)(x + y)(x2 + y2)(x4 + y4)(x8 + y8);
е) x4 — 3x2 + 1 = x4 − 2x2 − x2 + 1 = (x4 − 2x2 + 1) − x2 = (x2 − 1)2 − x2 = (x2 – 1 − x)(x2 – 1 + x);
ж) x4 — 8x2 + 4 = (x4 − 4x2 + 4) − 4x2 = (x2 − 2)2 − (2x)2 = (x2 – 2 − 2x)(x2 – 2 + 2x);
з) x4 — 7x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) − 9x2 = (x2 + 1)2 − (3x)2 = (x2 + 1 − 3x)(x2 + 1 + 3x);
и) x4 + 12x2 + 64 = (x4 + 16x2 + 64) − 4x2 = (x2 + 8)2 − (2x)2 = (x2 + 8 − 2x)(x2 + 8 + 2x);
к) x4 + x2 – 2 = (x4 − 2x2 + 1) + (3x2 − 3) = (x2 − 1)2 + 3(x2 − 1) = (x2 − 1)(x2 – 1 + 3) = (x − 1)(x + 1)(x2 + 2).
478. а) x2 — y2 — 10x — 12y — 11; б) x2 — y2 + 8x + 10y — 9;
в) 4x2 — y2 — 4x — 6y — 8; г) x2 — 4y2 + 10x + 4y + 24.
а) x2 — y2 — 10x — 12y – 11 = (x2 − 10x + 25) − (y2 + 12y + 36) = (x − 5)2 − (y + 6)2 = (x – 5 − (y + 6))(x – 5 + y + 6) = (x – 5 – y − 6)(x + y + 1) = (x – y − 11)(x + y + 1);
б) x2 — y2 + 8x + 10y – 9 = (x2 + 8x + 16) − (y2 − 10y + 25) = (x + 4)2 − (y − 5)2 = (x + 4 − (y − 5))(x + 4 + y − 5) = (x + 4 – y + 5)(x + y − 1) = (x – y + 9)(x + y − 1);
в) 4x2 — y2 — 4x — 6y – 8 = (4x2 − 4x + 1) − (y2 + 6y + 9) = (2x − 1)2 − (y + 3)2 = (2x – 1 − (y + 3))(2x – 1 + y + 3) = (2x – 1 – y − 3)(2x + y + 2) = (2x – y − 4)(2x + y + 2);
г) x2 — 4y2 + 10x + 4y + 24 = (x2 + 10x + 25) − (4y2 − 4y + 1) = (x + 5)2 − (2y − 1)2 = (x + 5 − (2y − 1))(x + 5 + 2y − 1) = (x + 5 − 2y + 1)(x + 2y + 4) = (x − 2y + 6)(x + 2y + 4).
479. а) 9x — 6x2 + x3; б) 36x + 12x2 + x3;
в) 25x — 10x2 + x3; г) x2 — 12x + 35;
д) x2 — 6x + 8; е) x2 — 11x + 10;
ж) x8 + 3x4 + 4; з) x8 — 5x4 + 4;
и) x8 + x4 +1; к) x3 — 3x2 + 3x + 7;
л) x3 + 3x2 + 3x — 26; м) x3 + 3x2 + 3x — 7.
а) 9x — 6x2 + x3 = x(x2 − 6x + 9) = x(x − 3)2;
б) 36x + 12x2 + x3 = x(36 + 12x + x2) = x(x + 6)2;
в) 25x — 10x2 + x3 = x(25 − 10x + x2) = x(x − 5)2;
г) x2 — 12x + 35 = (x2 − 12x + 36) – 1 = (x − 6)2 – 12 = (x – 6 − 1)(x – 6 + 1) = (x − 7)(x − 5);
д) x2 — 6x + 8 = (x2 − 6x + 9) – 1 = (x − 3)2 – 12 = (x – 3 − 1)(x – 3 + 1) = (x − 4)(x − 2);
е) x2 — 11x + 10 = x2 – x − 10x + 10 = (x2 − x) − (10x − 10) = x(x − 1) − 10(x − 1) = (x − 1)(x − 10);
ж) x8 + 3x4 + 4 = (x8 + 4x4 + 4) − x4 = (x4 + 2)2 − (x2)2 = (x4 + 2 − x2)(x4 + 2 + x2);
з) x8 — 5x4 + 4 = x8 − x4 − 4x4 + 4 = (x8 − x4) − (4x4 − 4) = x4(x4 − 1) − 4(x4 − 1) = (x4 − 1)(x4 − 4) = (x2 − 1)(x2 + 1)(x2 − 2)(x2 + 2) = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)(x2 − 2)(x2 + 2);
и) x8 + x4 +1 = (x8 + 2x4 + 1) − x4 = (x4 + 1)2 − (x2)2 = (x4 + 1 − x2)(x4 + 1 + x2);
к) x3 — 3x2 + 3x + 7 = (x3 − 3x2 + 3x − 1) + 8 = (x − 1)3 + 23 = (x – 1 + 2)((x − 1)2 − 2(x − 1) + 22) = (x + 1)(x2 − 2x + 1 − 2x + 2 + 4) = (x + 1)(x2 − 4x + 7);
л) x3 + 3x2 + 3x – 26 = (x3 + 3x2 + 3x + 1) – 27 = (x + 1)3 – 33 = (x + 1 − 3)((x + 1)2 + 3(x + 1) + 9) = (x − 2)(x2 + 2x + 1 + 3x + 3 + 9) = (x − 2)(x2 + 5x + 13);
м) x3 + 3x2 + 3x – 7 = (x3 + 3x2 + 3x + 1) – 8 = (x + 1)3 – 23 = (x + 1 − 2)((x + 1)2 + 2(x + 1) + 22) = (x − 1)(x2 + 2x + 1 + 2x + 2 + 4) = (x − 1)(x2 + 4x + 7).
| ← Предыдущая | Следующая → |