Действительные числа
Натуральные числа
Натуральные числа и действия с ними
Ответы к стр. 7
17. Натуральное число n делится на натуральное число p (p > 1). Докажите, что число n + 1 не делится на p.
Чтобы сумма n + 1 делилась на p, нужно, чтобы каждое из слагаемых делилось на p. По условию n делится на p, но 1 не делится на p, так как p > 1. Следовательно число n + 1 не делится на p.
18. Выписали первые 99 натуральных чисел: 1, 2, …, 99. Запятые стерли и получили натуральное число.
а) Сколько раз в записи этого числа встречается цифра: 0, 1, 2, 3, …, 9?
б) Делится ли это число на 9?
а) цифра 0 встречается 9 раз (10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90);
цифра 1 встречается 20 раз (1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91);
цифра 2 встречается 20 раз (2, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92);
цифра 3 встречается 20 раз (3, 13, 23, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 43, 53, 63, 73, 83, 93);
цифра 4 встречается 20 раз (4, 14, 24, 34, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 54, 64, 74, 84, 94);
цифра 5 встречается 20 раз (5, 15, 25, 35, 45, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 65, 75, 85, 95);
цифра 6 встречается 20 раз (6, 16, 26, 36, 46, 56, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 76, 88, 96);
цифра 7 встречается 20 раз (7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 87, 97);
цифра 8 встречается 20 раз (8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 98);
цифра 9 встречается 20 раз (9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99).
б) Найдем сумму цифр полученного числа:
0 • 9 + 1 • 20 + 2 • 20 + 3 • 20 + 4 • 20 + 5 • 20 + 6 • 20 + 7 • 20 + 8 • 20 + 9 • 20 = 0 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) • 20 = 45 • 20 = 900 — делится на 9, значит данное число делится на 9.
19. Произведение первых n (n ≥ 2) натуральных чисел обозначают n! и читают «эн факториал»:
n! = 1 • 2 • 3 • … • (n − 1) • n.
Например: 5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120.
На сколько нулей оканчивается:
а) 10!; б) 50!; в) 100!?
а) В образовании нулей (число 10) участвуют число 5 и числа, кратные 2. В ряду 1 до 10 чётных чисел 5: 2, 4, 6, 8, 10, но 10 кратно и 5, поэтому его не учитываем в кратных числах (остаётся 4 числа, кратных 2: 2, 4, 6 и 8). А чисел, кратных 5 в ряду от 1 до 10 два: 5 и 10. Число 10 – это 5 • 2, то есть ещё одно чётное число 2 (теперь этих чисел 5: 2, 2, 4, 6 и 8) и ещё одно число 5, кратное 5. Умножение числа 5 (а их два) на любое чётное число (а их 5: 2 или ещё 2 или 4 или 6 или 8) даёт число, оканчивающееся на 0 и добавляющее 0 в конце произведения. Значит нулей в конце результата произведения будет 2.
б) В образовании нулей (число 10) участвуют число 5 и числа, кратные 2. В ряду 1 до 50 чётных чисел 25: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, но 10, 20, 30, 40 и 50 кратно и 5, поэтому их не учитываем в кратных числах (остаётся 20 чисел, кратных 2). А чисел, кратных 5 в ряду от 1 до 50 десять: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 и 50. Число 10 – это 5 • 2, 15 – это 5 • 3, 20 – это 5 • 4, 25 – это 5 • 5, 30 – это 5 • 6, 35 – это 5 • 7, 40 – это 5 • 8, 45 – это 5 • 9, 50 – это 5 • 5 • 2 (заметим, что числа 25 и 50 дают по два числа 5, а остальные – по одному числу 5). Всего чисел 5 получается 12 (из десяти чисел, кратных 5, два (25 и 50) дают дополнительно по одной 5) и чётных чисел получается 25 (главное, что их больше чисел 5). Умножение числа 5 (а их 12) на любое чётное число (а их 25) даёт число, оканчивающееся на 0 и добавляющее 0 в конце произведения. Значит нулей в конце результата произведения будет 12.
в) В образовании нулей (число 10) участвуют число 5 и числа, кратные 2. В ряду 1 до 100 чётных чисел 50, но 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 и 100 кратно и 5, поэтому их не учитываем в кратных числах (остаётся 40 чисел, кратных 2). А чисел, кратных 5 в ряду от 1 до 100 двадцать. Из этих чисел 25, 50, 75 и 100 дают по два числа 5 (25 – это 5 • 5, 50 – это 5 • 5 • 2, 75 – это 5 • 5 • 3, 100 – это 5 • 5 • 4), остальные 16 чисел по одному числу 5 – всего 16 + 8 = 24 числа 5. Чётных чисел получается больше, чем чисел 5, а умножение числа 5 (а их 24) на любое чётное число даёт число, оканчивающееся на 0 и добавляющее 0 в конце произведения. Значит нулей в конце результата произведения будет 24.
| ← Предыдущая | Следующая → |