Алгебраические выражения
Многочлены
Целые выражения
Ответы к стр. 93
315. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида и определите его степень.
Чтобы избежать ошибок со знаком при вычислении, следует выполнить преобразования, например, так:
(х + 1)(х + 2) — (х + 3)(х + 4) = (х2 + 2х + х + 2) — (х2 + 4х + Зх + 12) = (х2 + Зх + 2) — (х2 + 7х+ 12) = х 2 + 3x + 2 — х 2 — 7х — 12 = -4х — 10.
а) 2х + (х — 1)(х + 1);
б) 7р2 — (р + 1)(р + 2);
в) (α + 2)(α — 1) — (α + 1)(α — 2);
г) (р + 2)(р — 1) + (р + 3)(р — 5);
д) (4 — х)(2 — х) — (х + 2)(1 — х).
а) 2х + (х — 1)(х + 1) = 2x + (x2 – x + x − 1) = 2x + x 2 – x + x − 1 = 2x + x2 — 1 − степень 2;
б) 7р2 — (р + 1)(р + 2) = 7p2 − (p2 + p + 2p + 2) = 7p2 − p2 — p — 2p – 2 = 6p2 − 3p − 2 − степень 2;
в) (α + 2)(α — 1) — (α + 1)(α — 2) = α2 + 2α – α – 2 − (α2 + α − 2α − 2) = α2 + 2α – α – 2 − α2 — α + 2α + 2 = 2α − степень 1;
г) (р + 2)(р — 1) + (р + 3)(р — 5) = p2 + 2p − p – 2 + (p2 + 3p − 5p – 15) = p2 + 2p − p – 2 + p2 + 3p − 5p – 15 = 2p2 – p − 17 − степень 2;
д) (4 — х)(2 — х) — (х + 2)(1 — х) = 8 − 2x − 4x + x2 − (x + 2 − x2 − 2x) = 8 − 2x − 4x + x 2 − x — 2 + x 2 + 2x = 2x2 − 5x + 6 – степень 2.
Упростите целое выражение (316 — 318):
316. а) (5αb2 + 4b3)(3αb3 — 4α2) — 18α2b3;
б) (7х3у2 — ху)(-2х2у2 + 5ху3) + 12х5y4;
в) (х3 + х2у + ху2 + у3)(х — у) — х2у(х — у);
г) α2(α2 — b2) — (α3 — α2b + αb2 — b3)(α + b);
д) 2 — (-4х + 1)(х — 1) + 2(6х — 4)(х + 3);
е) 6(х + 1)(х + 1) + 2(х — 1)(х2 + х + 1) — 2(х + 1);
ж) (х + 2)(х2 — 2х + 4) — х(х — 3)(х + 3);
з) 3(3х — 1)(2х + 5) — 6(2х — 1)(х + 2);
и) (х2 + 2)(х2 + 2) — (х — 2)(х + 2)(х2 + 4);
к) 5(α — 2)(α + 2) — 1/2(8α — 6)(8α — 6) + 17.
а) (5αb2 + 4b3)(3αb3 — 4α2) — 18α2b3 = 15α2b5 + 12αb6 − 20α3b2 − 16α2b3 − 18α2b3 = 15α2b5 + 12αb6 − 20α3b2 − 34α2b3;
б) (7х3у2 — ху)(-2х2у2 + 5ху3) + 12х5y4 = −14x5y4 + 2x3y3 + 35x4y5 − 5x2y4 + 12x5y4 = −2x5y4 + 2x3y3 + 35x4y5 − 5x2y4;
в) (х3 + х2у + ху2 + у3)(х — у) — х2у(х — у) = x4 + x3y + x2y2 + xy3 − x3y − x2y2 − xy3 − y4 − x3y + x2y2 = x4 − y4 − x3y + x2y2;
г) α2(α2 — b2) — (α3 — α2b + αb2 — b3)(α + b) = α4 − α2b2 − (α4 − α3b + α2b2 − αb3 + α3b − α2b2 + αb3 − b4) = α4 − α2b2 − α4 + α3b − α2b2 + αb3 − α3b + α2b2 − αb3 + b4 = b4 − α2b2;
д) 2 — (-4х + 1)(х — 1) + 2(6х — 4)(х + 3) = 2 − (−4x2 + x + 4x − 1) + 2(6x2 − 4x + 18x − 12) = 2 + 4x2 – x − 4x + 1 + 12x2 − 8x + 36x − 24 = 16x2 + 23x – 21;
е) 6(х + 1)(х + 1) + 2(х — 1)(х2 + х + 1) — 2(х + 1) = 6(x2 + x + x + 1) + 2(x3 + x2 + x − x2 – x − 1) − 2x – 2 = 6(x2 + 2x + 1) + 2(x3 − 1) − 2x – 2 = 6x2 + 12x + 6 + 2x3 – 2 − 2x – 2 = 2x3 + 6x2 + 10x + 2;
ж) (х + 2)(х2 — 2х + 4) — х(х — 3)(х + 3) = x3 + 2x2 − 2x2 − 4x + 4x + 8 − x(x2 − 3x + 3x − 9) = x3 + 8 − x(x2 − 9) = x3 + 8 − x3 + 9x = 9x + 8;
з) 3(3х — 1)(2х + 5) — 6(2х — 1)(х + 2) = 3(6x2 − 2x + 15x − 5) − 6(2x2 – x + 4x − 2) = 18x2 − 6x + 45x – 15 − 12x2 + 6x − 24x + 12 = 6x2 + 21x − 3;
и) (х2 + 2)(х2 + 2) — (х — 2)(х + 2)(х2 + 4) = x4 + 2x2 + 2x2 + 4 − (x − 2)(x3 + 2x2 + 4x + 8) = x4 + 4x2 + 4 − (x4 + 2x3 + 4x2 + 8x − 2x3 − 4x2 − 8x − 16) = x4 + 4x2 + 4 − (x4−16) = x4 + 4x2 + 4 − x4 + 16 = 4x2 + 20;
к) 5(α — 2)(α + 2) — 1/2(8α — 6)(8α — 6) + 17 = 5(α2 − 2α + 2α − 4) – 1/2(64α2 − 48α − 48α + 36) + 17 = 5(α2 − 4) – 1/2(64α2 − 96α + 36) + 17 = 5α2 – 20 − 32α2 + 48α − 18 + 17 = −27α2 + 48α − 21.
317. а) (α2 + 1)(α2 + 1) + (α — 1)(α2 + 1) — α2;
б) (х2 — 1)(х4 + х2 + 1) — (х2 — 1)(х2 — 1)(х2 — 1);
в) (m + 1/2)(m2 — 1/2m + 1/4) — (1/2m3 — 1/2m2);
г) (1/2α — 2b)(1/4α2 + αb + 4b2) — (1/8α3 — 8b3);
д) 15x3y2 — (5ху — 2)(3x2y + x);
е) 1/2(α + b + c)(α + b — c) — αb;
ж) (α + 2b) (α + c) — (α — 2b)(α — c).
а) (α2 + 1)(α2 + 1) + (α — 1)(α2 + 1) — α2 = α4 + α2 + α2 + 1 + α3 − α2 + α − 1− α2 = α4 + α3 + α;
б) (х2 — 1)(х4 + х2 + 1) — (х2 — 1)(х2 — 1)(х2 — 1) = x6 + x4 + x2 − x4 − x2 – 1 − (x4 − x2 − x2 + 1)(x2 − 1) = x6 – 1 − (x4 − 2x2 + 1)(x2 − 1) = x6 – 1 − (x6 − 2x4 + x2 − x4 + 2x2 − 1) = x6 – 1 − (x6 − 3x4 + 3x2 − 1) = x6 – 1 − x6 + 3x4 − 3x2 + 1 = 3x4 − 3x2;
в) (m + 1/2)(m2 — 1/2m + 1/4) — (1/2m3 — 1/2m2) = m3 – 1/2m2 + 1/4m + 1/2m2 – 1/4m + 1/8 − 1/2m3 + 1/2m2 = 1/2m3 + 1/2m2 + 1/8;
г) (1/2α — 2b)(1/4α2 + αb + 4b2) — (1/8α3 — 8b3) = 1/8α3 + 1/2α2b + 2αb2 − 1/2α2b − 2αb2 − 8b3 − 1/8α3 + 8b3 = 0;
д) 15x3y2 — (5ху — 2)(3x2y + x) = 15x3y2 − (15x3y2 − 6x2y + 5x2y − 2x) = 15x3y2 − 15x3y2 + 6x2y − 5x2y + 2x = x2y + 2x;
е) 1/2(α + b + c)(α + b — c) — αb = 1/2(α2 + αb + αc + αb + b2 + bc – αc – bc − c2) – αb = 1/2(α2 + 2αb + b2 − c2) – αb = 1/2α2 + αb + 1/2b2 − 1/2c2 – αb = 1/2α2 + 1/2b2 − 1/2c2;
ж) (α + 2b) (α + c) — (α — 2b)(α — c) = α2 + 2αb + αc + 2bc − (α2 − 2αb – αc + 2bc) = α2 + 2αb + αc + 2bc − α2 + 2αb + αc − 2bc = 4αb + 2αc.
318. a) (x2 + y2 + x + y)(x + у + xy);
б) (2α2bc — 3b2c — 7bc2)(α2c — b3c2 + 3bc3 — 8c2);
в) (m2 — mn2 — mn — n2)(m — mn — n2 + n);
г) (0,1p3 — 2p2q — 0,5pq2 + 1,2p3)(8p2 — 0,2pq + 5q2).
а) (x2 + y2 + x + y)(x + у + xy) = x3 + xy2 + x2 + xy + x2y + y3 + xy + y2 + x3y + xy3 + x2y + xy2 = x3 + 2xy2 + x2 + 2xy + 2x2y + y3 + y2 + x3y + xy3;
б) (2α2bc — 3b2c — 7bc2)(α2c — b3c2 + 3bc3 — 8c2) = 2α4bc2 − 3α2b2c2 − 7α2bc3 − 2α2b4c3 + 3b5c3 + 7b4c4 + 6α2b2c4 − 9b3c4 − 21b2c5 − 16α2bc3 + 24b2c3 + 56bc4;
в) (m2 — mn2 — mn — n2)(m — mn — n2 + n) = m3 − m2n2 − m2n − mn2 − m3n + m2n3 + m2n2 + mn3 − m2n2 + mn4 + mn3 + n4 + m2n − mn3 − mn2 − n3 = m3 − 2mn2 − m3n + m2n3 + mn3 − m2n2 + mn4 + n4 − n3;
г) (0,1p3 — 2p2q — 0,5pq2 + 1,2p3)(8p2 — 0,2pq + 5q2) = (1,3p3 − 2p2q − 0,5pq2)(8p2 − 0,2pq + 5q2) = 10,4p5 − 16p4q − 4p3q2 − 0,26p4q + 0,4p3q2 + 0,1p2q3 + 6,5p3q2 − 10p2q3 − 2,5pq4 = 10,4p5 − 16,26p4q + 2,9p3q2 − 9,9p2q3 − 2,5pq4.
| ← Предыдущая | Следующая → |